suite récurrence



  • Bonjour,
    Voila je faisais un exercice sur les suite et récurrences mais j'ai quelques petits soucis pour continuer donc je m'adresse à vous pour que vous puissiez me venir en aide si possible.

    1. k = 1 : u0= 0.25
      u(n+1)= un (1-un)

    a. Prouver que la suite ( u n ) n Œ N est décroissante.
    b. En déduire qu’elle est convergente vers un réel noté l.
    c. Prouver que la suite ( u n ) n ΠN converge vers 0.

    1. k = 2 :
      u0= 0.25
      u (n+1) = 2un (1 - un)

    a. Montrer par récurrence que u n = 1/2 - 1/2 (1/2)^2^n
    b. En déduire que la suite ( u n ) n Œ N est convergente et déterminer sa limite, en détaillant avec soin le raisonnement.

    1. On étudie la suite ( u n ) n Œ N lorsque 4/3 <ou égal k <ou égal 2 :
      u0= 0.25
      u (n+1) = k un (1-un)

    a. Prouver que, n ŒN, 0 <ou égal u n
    b. Etudier le sens de variation de la suite ( u n ) n Œ N , pour tout k Œ[ ; 2 ].
    c. En déduire que la suite ( u n ) n Œ N est convergente vers un réel l que l’on exprimera en fonction de k.
    d. Quelle est la particularité de la suite ( u n ) n Œ N lorsque k = 4/3? justifier

    Réponses:

    1. a) suite décroissante : u(n+1) < ou égal à un ainsi u(n+1) -un < ou égal à 0 d'ou un(1-un) - un < ou égal 0
      un - (un)^2 - un < ou égal à 0 alors - (un)^2 < ou égal à 0 ainsi c'est négatif donc on peut dire que un >ou égal à u (n+1) ainsi on en conclut que la suite un est décroissante.

    b. convergente vers l
    d'aprés le tableau de variation f (un) = u(n+1) est décroissante entre k/4 et 0 donc minorée par 0. or d'aprés le théorème une suite décroissante et minorée est dite convergente donc la suite converge vers un réel qu'on notera l .

    c. convergente vers 0 :
    puisque la suite est décroissante et minorée par o et qu'elle est donc convergente donc on peut en conclure que la suite est convergente vers 0.
    Voila pour l'exercice 1 pourriez vous me dire ce qui ne va pas pour cet exercice totu d'abord. Merci d'avance


  • Modérateurs

    salut thefifi,
    pouur le 1 et le 2 les justifications ne sont pas claires mais les idées sont là, pour le 3 tu racontes des horreurs : la limite n'est pas forcément égale au minorant (on aurait très bien pu dire que la suite était minorée par -12...). Peut-être as-tu des théorèmes qui parlent de points fixes ?



  • "Peut-être as-tu des théorèmes qui parlent de points fixes " je vois pas de quel théorème vous parlez :s !!


  • Modérateurs

    non bah tu n'as pas du le voir alors. Ce que tu pourrais faire alors c'est dire que la limite de UnU_n quand n tend vers +∞ est la même que la limite de Un+1U_{n+1} quand n tend vers +∞, tu pourrai en tirer une équation sur l qui te permettrait de trouver sa valeur.



  • Un est décroissante et minorée par l

    Donc Un>l quel que soit n
    1-Un <l

    La limite est l : l< Un < l/(1-l)
    Or 1-Un< 1-l
    Un+1 < (1-l)*l/(1-l)
    Un+1<l
    ainsi Un+1 < l< Un
    Mais en fait je vous plus comment faire je suis pommée :s !!


  • Modérateurs

    je vois mal comment tu peux arriver à Un+1U_{n+1}<l.
    Non il faut que tu écrives que la limite de Un+1U_{n+1} est l et que UU_{n+1}=U=U_n(1Un(1-U_n) donc que sa limite est aussi ... Et donc par unicité de limite tu obtiens une équation du second degré en l dont une solution peut être éliminée par décroissance de la suite.



  • lim Un+1 = l
    U(n+1) = Un ( 1 - Un)
    donc lim Un ( 1- Un) = l
    donc lim Un+1 = lim un = l
    réel l : l = l(1-l) <=> l = l- l² <=> l²= 0 donc 2 solutions sqrtsqrt l ou - sqrtsqrt l


  • Modérateurs

    bah non l²=0 il n'y a qu'une seule solution : ...


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