construction d'une fractale

[GTO]

Bonjour à tous et bonne année à tous (mieux vaux tard que jamais )
voilà j'ai un problème dont je vous met les dessins géométriques en insertion
Le problème est le suivant:
On note* $F\ast <em>0$ un segment [AB] de longueur a, avec a∈$IR$+${}^{\ast }$
On passe de $<em>F</em{>}_0$ à $<em>F</em{>}_1$ en divisant le segment en trois segments de même longueur et en construisant sur la partie centrale un triangle équilatéral.
On passe de $<em>F</em><em>n$ à $<em>F</em></em>n+1$ en appliquant à chaque côté de $<em>F</em{>}_n$ le procédé précédent.

modif Thierry : scan contenant du texte et trop grand, non acceptable dans le math-forum, supprimé

On me pose les questions suivantes

I) Etude de nombre $<em>k</em{>}_n$ de côtés de $<em>F</em{>}_n$.
a) DOnner $<em>k</em{>}_0$, $<em>k</em{>}_1$, $<em>k</em{>}_2$, et $<em>k</em><em>3$
b) Etablir une relation de récurrence entre $<em>k</em></em>n+1$ et $<em>k</em{>}_n$
c) En déduire $<em>k</em{>}_n$ fonction de ${}_n$

II) Etude de la longueur $<em>l</em{>}_n$ de la courbe $<em>F</em{>}_n$.
a) calculer $<em>l</em{>}_0$, $<em>l</em{>}_1$, $<em>l</em{>}_2$, et $<em>l</em{>}_3$ en fonction de a
b) Justifier que $<em>l</em><em>n$= $<em>a</em>(4/3{)}^n$
c)Vérifier que $(4/3{)}^9$>10
d)En déduire que $<em>l</em></em>54$ ≥ $<em>a</em>10^6$
e)Déterminer un entier m tel que $<em>l</em{>}_m$ ≥ $<em>a</em>10^{100}$
f) $(<em>l</em{>}_n$) converge-t-elle? quelle est sa limite?

III) Etude de l'aire $<em>A</em{>}_n$ de la surface comprise entre $<em>F</em{>}_n$ et le segment [AB]
a)calculer $<em>A</em{>}_0$, $<em>A</em{>}_1$ et $<em>A</em><em>2$
b)montrer que pour tout n, $<em>A</em></em>n+1$ = $<em>A</em{>}_n$+(a ² √ 3 / 36 ) x $(4/9{)}^n$
c) en additionnant membe à membre les égalités obtenues au b), montrer que:
An= [ (a ² √ 3 ) / 20 ] x [ 1 - ( 4 / 9 ${)}^n$ ]
d) vérifier que $(4/9{)}^6$<$10^{-2}$
e) peut-on délimiter un entier n à partir duquel | $<em>A</em{>}_n$ - ( a ² √ 3 / 20 ) | est inférieur à a²$10^{-100}$ ?
$f)(<em>A</em{>}_n$) converge-t-elle? quelle est sa limite?

IV)en regardant les résultats des questions II)f) et III)f), que peux-tu dire sur la longueur de la courbe $<em>F</em{>}_n$ et sur l'aire de la surface comprise entre $<em>F</em{>}_n$ et le segment [AB]?

V) sur une feuille blanche, tracer les trois premières étapes de construction $(<em>F</em{>}_0$, $<em>F</em{>}_1$, et $<em>F</em{>}_2$) en partant d'un triangle équilatéral de côté 9cm.

l'ennoncé est enfin fini... :rolling_eyes:
pour ma part, je n'ai réussi à effectuer que:
I) a) et b)
II) a) b) c) et le d) me parait faux
V)

Toute aide sera la bienvenue pour ce Devoir Maison qui mêle suite et fractale
merci d'avance

[kanial]

Salut GTO,
bonne année à toi aussi même si 2 mois sont déjà passés ...
Peux-tu nous montrer ce que tu as fait jusque-là, ça nous aidera à t'aider plus efficacement.

[GTO]

Merci raycage!
Pour le I) a) j'ai trouver $<em>k</em{>}_0$ = 1; $<em>k</em{>}_1$ = 4; $<em>k</em{>}_2$ = 16; et $<em>k</em><em>3$ = 64
pour le b) je pense que la relation de récurrence est : $<em>k</em></em>n+1$ = $<em>k</em{>}_n$ x 4
je n'ai pas trouver le c) :frowning2:

pour le II) a) $<em>l</em{>}_0$ = a
$<em>l</em{>}_1$ = a x ( 4 / 3 ${)}^1$ = 4a / 3
$<em>l</em{>}_2$ = a x ( 4 / 3 ${)}^2$ = 16a / 9
$<em>l</em{>}_3$ = a x ( 4 / 3 ${)}^3$ = 64a / 27

b)soit a la longueur du segment [AB]
$<em>l</em{>}_0$ = a = 3a/3
$<em>l</em{>}_1$ = 3a / 3 - a / 3 + 2a / 3
On divise"a"par 3, la partie centrale est remplacée par 2a donc:
$<em>l</em{>}_n$ = a x ( 4 / 3 ${)}^n$

c)( 4 / 3 ${)}^9$ = $4$^9$/3^9$ ≈ 13,3

pour celui-la je pense avoir faux:
$d)<em>l</em><em>54$ = a( 4 / 3 ${)}^{54}$
$<em>l</em></em>54$ ≈ 5 580 740 ≥ $<em>a</em>10^6$

voila ou j'en suis
bien sur j'ai fait le V) mais c'est un dessin...
merci pour votre aide

[kanial]

Alors, pour le I) tu as une relation de récurrence très simple, caractéristique d'un certain type de suite que tu devrais reconnaître...

pour le II), la justification du b) est moyenne, en fait il faut dire que si tu prends une figure pour passer à la suivante, tu fais l'opération sur chaque côté et donc tu multiplie chaque côté par 4/3 (passage de $l_0$ à $l_1$) et donc tu multiplie la longueur totale par 4/3, tu as donc une relation de récurrence du type $l_n$= $(4/3)<em>l_{n-1}$, ce qui te permet de conclure de la même manière que dans le I.
Il ne faut pas calculer $(4/3{)}^{54}$, c'est un calcul un peu trop compliqué, il vaut mieux remarquer que 69=54...
Pour $10^{100}$ c'est le même principe. Penses-tu que la suite soit convergente ? Pourquoi ?

Pour le III, je te rappelle juste pour l'instant que l'aire d'un triangle c'est base*hauteur/2 et que la hauteur d'un triangle équilatéral est normalement connue (et se retrouve par Pythagore ...).