Dresser le tableau de variation d'une fonction du second degré

bonjour à tous, j'ai un dm à faire (que j'ai pratiquement fini) mais la question 4 me pose problèmes
voilà le sujet :
ABCD est un rectangle tel que AB=5 et AD=3 (unité de longueur : 1 cm). Pour tout x de [0;3], on place les points M, N, P, Q tels que AM=BN=CP=DQ On s'interesse à l'aire A(x) du polygone MNPQ en fonction de x.
1- Exprimer MB et NC en fonction de x. En déduire que A(x)=2x²-8x+15
2 demontrer que pour tout x de [0;3], A(x) = 2(2-x)² + 7
3 on va alors étudier le sens de variation de la fonction sur[0;3].
a recopier la démonstration ci dessous on completera chaque inégalité
en justifiant les reponses.

si 2 ≤ a<b≤3 :

alors...≤a-2...b-2≤..car....

d'où.....(a-2)²....(b-2)²....car....

puis.....2(a-b)²....2(b-2)²...car...

et enfin....2(a-b)²+7.....(b-2)²....car

Pour tout réel a et b de l'intervalle (....;....] tels que a<b, on a A(a)...A(b)
Quel est le sens de variation de la fonction sur [2;3] ?

b) reprendre la même démonstration en supposant cette fois que
0≤a<b≤2
Quel est le sens de variation de la fonction sur [0;3] ?

c) dresser le tableau de variation de la fonction A sur [0;3].

4 Pour quelle valeur de x, l'aire du polygone MNPQ est elle minimale ? la calculer.

5 Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse, 0,5 cm en ordonnée).

voilà ce que j'ai fait :

MB = AB-x= 5-x
NC= BC-x = 3-x

ABCDest un rectangle donc AB=DC et CB=AD
si AM=BN=CP=DQ alors MB=PD et CN=AQ

aire de AX = aire de ABCD- (Aire de MBN2+ Aire de CPN2)

aire de MBN = MBxNB/2
= (5-x)*x/2
= 5x-x²/2

aire de NCP = NCxCP/2
= (3-x)*x/2
= 3x-x²/2

aire de A(x)= 15-[(5x-x²/22)+(3x-x²/22)]
= 15 -(5x-x²+3x-x²
= 15-8x+2x²

A(x) = 2(x-2)²+7
= 2[(x-2)(x-2)]+7
= 2(x²-4x+4)+7
= 2x²-8x+8+7
= 2x²-8x+15

a)

si 2 ≤ a < b ≤ 3 :

alors 0 ≤ a - 2.. < .. b - 2 ≤ 1
car

alors 0. ≤ a - 2 . . < .. b - 2 . ≤ . 1 car on ne change pas le sens d'une égalité en retranchant aux membres de l'inégalité une même quantité

d'où.. 0 ≤ (a-2)² < (b-2)² ≤ 1car deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre

puis. 0 <(ou egal ) 2(a-b)² < 2(b-2)² ≤ 1 car on ne change pas le sens d'une inégalité en la multipliant par une même quantité

et enfin. 0 ≤ 2(a-b)² + 7 < (b-2)² + 7 ≤9 car on ne change pas le sens d'une égalité en ajoutant aux membres de l'inégalité une même quantité

le sens de variation sur [2;3] est croissante

pour le petit b j'ai fait :

0 ≤ a < b ≤ 2

alors -2 ≤ a - 2 < b - 2 ≤ 0
d'où 4 ≥ (a-2)² > (b-2)² ≥ 0
puis 8 ≥ 2(a-2)² > 2(b-2)² ≥ 0
et enfin 15 ≥ 2(a-2)² > 2(b-2)² ≥ 0

pour tout réel a et b de l'intervalle [0;2] tels que a < b, on a A(a) > A(b)

Le sens de variation de la fonction sur [0;2] est décroissante

pour l'aire minimale je ne sais pas comment m'y prendre pour la calculer (mais après avoir fait la courbe je sais que la valeur de x est égal à 2 pour une aire de 7cm²

Je remercie d'avance la personne qui me dire si ce que j'ai fait est exact et m'aider pour la question 4. Je voudrais rendre un bon devoir.

merci encore

Intervention de Zorro = ajout d'espaces pour régler un souci d'affichage

Bonjour,

Tout me semble bon sauf

a) ""le sens de variation sur [2;3] est croissante"" qui n'est pas correct.

On dirait plutôt A est une fonction croissante sur [2;3]

b) Idem pour l'autre intervalle : A est une fonction décroissante sur [0;2]

En faisant un tableau de variations de A tu verras bien que A qu'il y a un minimum quand x = 2 et ce minimum vaut A(2) = ....

Autre méthode A(x) = 2(2-x)² + 7

A(x) est la somme d'un nombre strictement positif : 7 et d'un nombre positif ou nul 2(2-x)².

Cette somme est donc minimale quand 2(2-x)² est nul.

Or 2(2-x)² = 0 si et seulement si (2-x)² = 0 oit 2 - x = 0

merci merci beaucoup c'est vraiment gentil, j'avais effectivement vu en faisant la courbe que l'aire minimale était 7 cm² et que la valeur de x était 2 mais je ne voyais pas comment la calculer et grâce à vous je sais comment le faire !!!bonne journée