Géométrie dans l'espace - Pyramide régulière

Bonjour à vous,
Je suis complètement bloqué sur un devoir maison et je vous remercie de votre aide. je n'ai fait que la figure et la première question (mais à vérifier). Voici l'énoncé :

Soit SABCD une pyramide régulière à base carrée dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux.
1/ calculer l'angle S de ASC
2/ Soit H le milieu de [AC] on admet que la droite (SH) est perpendiculaire au plan (ABC). Calculer SH
3/ Soit I le milieu de [BC] donner une valeur approchée à 0.1° de l'angle SIH (accent sur I)

Voici ce que j'ai noté pour la question 1 :

Soit H le milieu de [AC]. Le triangle se décompose en 2 triangles rectangle ASH et CHS rectangle en H. les aretes de la pyramide ont la même longueur donc [AB]=[AS]. ainsi AC=AB√2 = AS√2 donc AS=AC/√2. AH = AC/2
donc : cosA =AH/AS=AC/2x√/AC=√2/2.
donc A = 45°.
Qu'en pensez vous ?

Salut frederic,

Ce que tu écris est juste, mais tu n'as pas répondu exactement à la question... Pour ce faire il faut maintenant remarquer une propriété du triangle ASC.
Pour la 2) et la 3) c'est juste un peu de trigo...

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Merci pour la réponse.

Donc je reprends :

Question 1 :

Le triangle ABC est rectangle en B,
Le triangle ASC est tel que [AC] est commun et SA=SC = AB = AC
Les triangles ASC et ABC sont donc superposables et ASC est donc aussi un triangle rectangle en S
Donc S = 90°.
Ou alors puisqu'il est dit : Calculer, on peut procéder ainsi.
Soit a le côté du carré.
On a aussi SA = SC = a.
D'où
AC² = 2a²
SA²+SB²=a²+a² = 2a²
On a donc : AC² = SA²+SC² et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut en conclure que le triangle ASC est rectangle en S.

Question 2:
SH est aussi la hauteur et la médiane dans le triangle rectangle ASC. Elle est donc égale à la moitié de l'hypoténuse . AC=a√2 donc SH= SH=(1/2)a√2

Le triangle SHA est aussi rectangle et isocèle donc SH=AH=1/2AC

3/
j'ai pris le triangle rectangle SHI.

Je connais SH=(1/2)a√2

Je connais HI=(1/2)a (médiane relative à l'hypotènuse dans le triangle rectangle BHC)

D'où tangente de l'angle SIH=SH/HI soit après simplification √2

je trouve 54,7356...dons à 1/10 près 54,7

Alors à votre avis ?

Tout ça m'a l'air bon.
Pour le 2, la réponse qu'on attend c'est SH=(1/2)a√2 plus que SH=1/2AC.

Merci beaucoup pour tout ces conseils et cet accompagnement.
Bonne journée et à bientôt.