Géométrie dans l'espace - Pyramide régulière



  • Bonjour à vous,
    Je suis complètement bloqué sur un devoir maison et je vous remercie de votre aide. je n'ai fait que la figure et la première question (mais à vérifier). Voici l'énoncé :

    Soit SABCD une pyramide régulière à base carrée dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux.
    1/ calculer l'angle S de ASC
    2/ Soit H le milieu de [AC] on admet que la droite (SH) est perpendiculaire au plan (ABC). Calculer SH
    3/ Soit I le milieu de [BC] donner une valeur approchée à 0.1° de l'angle SIH (accent sur I)

    Voici ce que j'ai noté pour la question 1 :

    Soit H le milieu de [AC]. Le triangle se décompose en 2 triangles rectangle ASH et CHS rectangle en H. les aretes de la pyramide ont la même longueur donc [AB]=[AS]. ainsi AC=AB√2 = AS√2 donc AS=AC/√2. AH = AC/2
    donc : cosA =AH/AS=AC/2x√/AC=√2/2.
    donc A = 45°.
    Qu'en pensez vous ?


  • Modérateurs

    Salut frederic,

    Ce que tu écris est juste, mais tu n'as pas répondu exactement à la question... Pour ce faire il faut maintenant remarquer une propriété du triangle ASC.
    Pour la 2) et la 3) c'est juste un peu de trigo...



  • __
    Merci pour la réponse.

    Donc je reprends :

    Question 1 :

    • Le triangle ABC est rectangle en B,
    • Le triangle ASC est tel que [AC] est commun et SA=SC = AB = AC
      Les triangles ASC et ABC sont donc superposables et ASC est donc aussi un triangle rectangle en S
      Donc S = 90°.
      Ou alors puisqu'il est dit : Calculer, on peut procéder ainsi.
      Soit a le côté du carré.
      On a aussi SA = SC = a.
      D'où
      AC² = 2a²
      SA²+SB²=a²+a² = 2a²
      On a donc : AC² = SA²+SC² et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut en conclure que le triangle ASC est rectangle en S.

    Question 2:
    SH est aussi la hauteur et la médiane dans le triangle rectangle ASC. Elle est donc égale à la moitié de l'hypoténuse . AC=a√2 donc SH= SH=(1/2)a√2

    Le triangle SHA est aussi rectangle et isocèle donc SH=AH=1/2AC

    3/
    j'ai pris le triangle rectangle SHI.

    Je connais SH=(1/2)a√2

    Je connais HI=(1/2)a (médiane relative à l'hypotènuse dans le triangle rectangle BHC)

    D'où tangente de l'angle SIH=SH/HI soit après simplification √2

    je trouve 54,7356...dons à 1/10 près 54,7

    Alors à votre avis ?


  • Modérateurs

    Tout ça m'a l'air bon.
    Pour le 2, la réponse qu'on attend c'est SH=(1/2)a√2 plus que SH=1/2AC.



  • Merci beaucoup pour tout ces conseils et cet accompagnement.
    Bonne journée et à bientôt.


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