produit scalaire et barycentre



  • bonjour,
    Voilà j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine. Mais j'ai un problème pour cet exercice. Je bloque déjà pour la première question. Voici l'exercice :
    On considère dans l'espace un rectangle ABCD de centre I.

    1. Démontrer que D est le barycentre du système {(A,1),(B,-1),(C,1)}
    2. Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que :

    ll MA + MC ll = 2 ll MA - MB +MC ll (ce sont tous des vecteurs)

    1. Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que :

    MA² - MB² + MC² = BD²

    Merci de bien vouloir m'aider.



  • Salut,

    1. ABCD est un parallélogramme donc DB^\rightarrow = DA^\rightarrow + DC^\rightarrow ... je te laisse parvenir à la relation vectorielle permettant de dire que D est barycentre (cf la définition du barycentre).

    Il faut réduire les vecteur entre doubles barres.

    J'appelle J le milieu de [AC] alors MA^\rightarrow+MC^\rightarrow=2MJ^\rightarrow
    Pour MA^\rightarrow - MB^\rightarrow + MC^\rightarrow je te laisse utiliser la proprieté du barycentre pour exprimer ce vecteur en fonction de MD^\rightarrow ...

    Tu arrives à quelque chose ?



    1. AD = BC
      AD = BD + DC
      AD-BD-DC=0
      -DA DC=0
      DA-DB+DC=0
      donc D est bien barycentre de (A,1) ;(B,-1);(C,1)

    2. j'ai trouvé que l'ensemble F était la médiatrice de [ID]

    3. MD²= 2BD² -DA² -DC²

    Donc soit P= 2BD² -DA² -DC²
    Si P<0 alors l'ensemble E est l'ensemble vide
    Si P=0 alors l'ensemble est le point E
    Si P>0 l'ensemble est le cercle de centre D et de rayon racine de P

    Est- ce bon?



    1. Oui c'est bon.

    2. Dans l'espace il ne s'agit pas de médiatrice mais de plan médiateur. A part ça ta réponse est bonne.

    3. Non. Si tu introduis le point D par la relation de Chasles dans les carrés, il faut utiliser un identité remarquable.
      (u^\rightarrow+v^\rightarrow)²=u^\rightarrow²+2u^\rightarrowv^\rightarrow+v^\rightarrow² ≠ u^\rightarrow²+v^\rightarrow²


 

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