produit scalaire et barycentre

[miss90]

bonjour,
Voilà j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine. Mais j'ai un problème pour cet exercice. Je bloque déjà pour la première question. Voici l'exercice :
On considère dans l'espace un rectangle ABCD de centre I.

1. Démontrer que D est le barycentre du système {(A,1),(B,-1),(C,1)}
2. Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que :

ll MA + MC ll = 2 ll MA - MB +MC ll (ce sont tous des vecteurs)

3. Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que :

MA² - MB² + MC² = BD²

Merci de bien vouloir m'aider.

[Thierry]

Salut,

1. ABCD est un parallélogramme donc DB${}^{\to }$ = DA${}^{\to }$ + DC${}^{\to }$ ... je te laisse parvenir à la relation vectorielle permettant de dire que D est barycentre (cf la définition du barycentre).

Il faut réduire les vecteur entre doubles barres.

J'appelle J le milieu de [AC] alors MA${}^{\to }$+MC${}^{\to }$=2MJ${}^{\to }$
Pour MA${}^{\to }$ - MB${}^{\to }$ + MC${}^{\to }$ je te laisse utiliser la proprieté du barycentre pour exprimer ce vecteur en fonction de MD${}^{\to }$ ...

Tu arrives à quelque chose ?

[miss90]

1. AD = BC
   AD = BD + DC
   AD-BD-DC=0
   -DA DC=0
   DA-DB+DC=0
   donc D est bien barycentre de (A,1) ;(B,-1);(C,1)

2. j'ai trouvé que l'ensemble F était la médiatrice de [ID]

3. MD²= 2BD² -DA² -DC²

Donc soit P= 2BD² -DA² -DC²
Si P<0 alors l'ensemble E est l'ensemble vide
Si P=0 alors l'ensemble est le point E
Si P>0 l'ensemble est le cercle de centre D et de rayon racine de P

Est- ce bon?

[Thierry]

1. Oui c'est bon.

2. Dans l'espace il ne s'agit pas de médiatrice mais de plan médiateur. A part ça ta réponse est bonne.

3. Non. Si tu introduis le point D par la relation de Chasles dans les carrés, il faut utiliser un identité remarquable.
   (u${}^{\to }$+v${}^{\to }$)²=u${}^{\to }$²+2u${}^{\to }$v${}^{\to }$+v${}^{\to }$² ≠ u${}^{\to }$²+v${}^{\to }$²