demonstration equation exponentielle



  • BONJOUR,

    les démonstrations me posent toujours problèmes....encore + si on melange les exponentiel.
    merci de bien vouloir me donner un coup de pouce.

    Le but de ce problème est l'étude sur R de l'equation : E = 3^x+4^x=5^x

    1. demontrer que que E équivaut à :

    (3/5)^x+(4/5)^x=1

    1. on considère f(x)= (3/5)^x+(4/5)^x-1
      a) pour tout réel a > 0 on note fa la fonction exponentielle de base a , définie pour tout x par : fa(x)=a^x
      Démontrer que fa est strictement croissante lorsque a est élément de ]1,+00[ et strictement décroissante sur ]0,1[ et constante lorsque a=1
      Etudier la limite de fa en +00 selon les valeurs de a.

    b)Etudier le sens de variations de f

    c)Etudier la limite de f en +00

    d)En déduire qu'il existe un unique x0 appartenant à R, tel que f(x0)=0.
    Donner la valeur de x0.

    3)Resoudre dans R 3^x+4^x+5^x=6^x
    L'équation 3^x+4^x+5^x+6^x=7^x admet elle une solution entière?

    C'est long...mais surement plus évident pour vous que pour moi...pourtant même avec le cours je n'y arrive pas...mais je pense qu'il faut la deviner cette étude ainsi que la resolution de l'équation car on en a encore jamais fait.

    merci beaucoup pour votre aide.



  • voilà le peu que j'ai fait :

    pour le 1)

    j'ai divisé les deux membres par 5^x, mais cela me semble un peu simple pour une démonstration.

    2)je remarque que :
    a^x = e^(x.ln a).

    Si a > 1 alors ln a > 0 et donc la fonction linéaire u défnie sur R par u(x) = x.ln a est croissante sur R.

    pour ce qui est des limites, je coince

    merci de m'aider.


  • Modérateurs

    Salut benja,

    Tout ce que tu as fait est bon.

    Pour la limite, en +∞, il faut faire deux cas comme précédemment : quelle est la limite de x*ln(a) lorsque x tend vers +∞ ? Tu peux en déduire facilemet la limite cherchée.
    Tu as montré la croissance sur [1,+∞[, il te reste à montrer la décroissance sur ]0,1[.

    Les questions b et c sont des application de cette question a ...



  • lima+f(x)=+\lim _{a \rightarrow {+} \infty}f(x) = +\infty

    2)d2) d- pour calculer f(x0)=0 j'utilise le triplet de pythagore:

    32+42=523^2+4^2=5^2

    qui me permet de faire ceci:

    9+16=259+16=25
    32+42=523^2+4^2=5^2
    Je divise par 525^2
    (35)2+(45)2=1(\frac35)^2+(\frac45)^2=1
    (35)2+(45)21=0(\frac35)^2+(\frac45)^2-1=0
    f(2)=0f(2)=0



  • donc:x0=2donc: x_0=2



  • 3)a3) a-
    et maintenant, pour

    3x+4x+5x=6x3^x+4^x+5^x=6^x

    je pense qu'il ya une solution comme précédement mais je ne sais pas le démontrer...

    3)b3) b-

    pour 3x+4x+5x+6x=7x3^x+4^x+5^x+6^x=7^x

    il n'y a pas de solution entière, puisque l'unique solution est strictement comprise entre 3 et 4

    je pense mais aucune idée sûr ni aucune manière de démonstration de ceci a l'horizon...


  • Modérateurs

    Attention ce n'est pas la limite quand a tend vers l'infini que l'on te demande mais la limite quand x tend vers l'infini.
    d) tu as montré que 2 était solution mais tu n'as pas montré que c'était l'unique solution, il faut pour cela utiliser la monotonie de f.

    Pour la 3-a), essaie de faire pareil que précédemment en posant une fonction gag_a judicieuse telle que la solution de l'équation 33^x+4+4^x+5+5^x=6x=6^x soit l'unique solution de gag_a(x)=0

    Pour la b, je pense que tu as fait un peu d'arithmétique, tu pourrais par exemple t'intéresser à la parité de certaines choses...



  • je ne comprends pas un truc au 2)a)
    puisque:
    Si a > 1 alors ln a > 0 et donc la fonction linéaire u défnie sur R par u(x) = x.ln a est croissante sur R.
    la limite de f quand a tend vers+00 est + 00 alors il en est de meme pour la limite de f quand x tend vers +00 ????????????

    quand au 3)a)

    pas compris non plus!!


  • Modérateurs

    Salut benja,

    Fais attention à ce que tu écris, on a l'impression que tu confonds pas mal de chose notamment la croissance n'apporte pas grand chose pour la limite ici et le fait que la limite soit +∞ quand a tend vers +∞ ne te dit pas grand chose sur la limite quand x tend vers +∞.

    Tu l'as écrit plus haut, ff_a(x)=exln(a)(x)=e^{xln(a)}, la limite quand x tend vers l'infini dépend donc du signe de ln(a) :
    si ln(a)<0 ...
    si ln(a)=0 ...
    si ln(a)>0 ...

    Pour la 3a) essaie de reprendre les question du 1) et du 2) en les adaptant à cette nouvelle équation et cela devrait se faire assez bien.


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