Aide sur les suites



  • bonjour,
    j'aimerais qu'on m'aide pour un exercice sur les suites, si c'est possible. je vous en remercie. voici l'énoncé :

    1. Soit (Un(U_n) la suite définie par : u0u_0 = 400 000 et pour tout n des entiers naturels, un+1u_{n+1} = 1,05un05u_n-25 000.
      a) La suite (un(u_n) est-elle arithmétique ? géométrique ?
      b) Pour tout n appartenant aux entiers naturels, on pose vnv_n = unu_n-500 000.
      Démontrer que la suite (vn(v_n) est géométrique. En déduire l'expression de vnv_n puis de unu_n en fonction de n.

    2. Utiliser les résultats de la question précédente pour résoudre le problème suivant, extrait d'un ouvrage de Leonhard Euler (Observer, conjecturer, découvrir, démontrer) :
      "Un particulier doit 400 000 florins, dont il est convenu de payer tous les ans l'intérêt à 5% ; il acquitte tous les ans 25 000 florins ; on demande après combien de'années sa dette sera entièrement éteinte."



  • Pour aider:
    vnv_n =un=u_n - 500 000
    donc: vn+1v_{n+1} =un+1=u_{n+1} - 500 000= 1.05 unu_n -525 000
    vn+1v_{n+1} = 1.05 (un(u_n-500 000) = 1.05 vv_nn_n =1.05n05^n v0v_0
    avec v0v_0 = u0u_0 - 500 000
    à vérifier



  • Salut.

    As-tu commencé à répondre ?

    Pour la question 1, commence par envisager les premiers termes de ta suite sur lesquels tu pourras voir de suite si jamais elle n'est ni arithmétique, ni géométrique (en fait la question 2 induit clairement la réponse...).

    Pour la question 2 : il s'agit de montrer que vn+1v_{n+1} est égal à un coefficient (indépendant de n) multiplié par vnv_n .
    L'expression de vnv_n en fonction de n en découlera aisément, puis ensuite celle de unu_n . (Voir cours de 1re)

    Le problème d'Euler ne sera qu'une application de ces calculs.



  • T'es gentille, kathe.



  • si tu poses Un+1=pUn+k avec k=-25000 et p=105/100=21/20

    alors

    U1=pUo+k
    U2=pU1+k

    et ainsi de suite alors

    Un=(p^n).Uo+k(1-p^n)/(1-p)



  • je vous remercie pour vos reponses, ca m'a beaucoup aider.

    merci a tous !!


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