etude d'une fonction



  • Bonsoir tout le monde,

    Je suis en train de m'arracher les cheveux sur un problème de maths. C'est pour un concours et malheuresement j'ai pas remis le nez dans ce genre de problème depuis 5 ans. j'ai réussi seulement le 1). ça pèse pas lourd

    On considère la fonction f, définie sur I=]0 ; +∞[ par :

    F(x) = (x-1/x)(lnx – 2)

    Et on considère par C la courbe représentative relativement au repère.

    1. Déterminer les Limites de f en +∞ et en 0. En désuire l’existence d’éventuelles asymptotes.

    Ici j’ai trouvé lim f(x) + ∞ lorsque x tend vers 0, asymptote verticale en y=O. et lim f(x) +∞ lorsque x tend vers + ∞. Je trouve une asymptote oblique mais sans en connaître l’orientation

    1. Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x
    2. Calculer f’(x)
    3. Déterminer l’équation de la tangente T u point d’abscisse 1
    4. Soit u la fonction défini sur I par u(x) = ln x + x -3
      a) calculer la dérivée de u et étudier les variations de u (avec étude des limites aux bornes de I
      b) monter que l’équation u(x) = 0 possède une solution unique alpha dans l’intervall [2 ;3]. Montrer que 2,20 < alpha < 2,21
      c) Etudier le signe de u(x) sur I
    5. Etudier les variations de f.
    6. Tracer la courbe C, l tangente T et les asymptotes éventuelles.

    Voila vous me serai d'une grande aide. si vous avez des explication je suis preneur ;).
    Bonne soirée

    Intervention de Zorro = ajout d'espaces pour régler un souci d'affichage



  • Bonjour,

    Si je devine les () qui manquent f(x),=,,(x,,1),x,(ln(x),,2)f(x) ,= ,\frac{ ,(x ,- ,1) ,}{x} , (\text{ln}(x) ,- ,2)

    Pour les limites, je trouves comme toi

    Pour le signe de f(x) il faut faire un tableau de signe avec

    • Une ligne avec les valeurs possibles de x

    • Une ligne avec le signe de (x - 1)

    • Une ligne avec le signe de x

    • Une ligne avec le signe de ln(x) - 2

    • Une ligne avec le signe de f(x).

    Pour la dérivée, pense à utiliser les formules (uv)' et (u/v)'

    P.S. Tu es vraiment en supérieur ? Cet exo me semble plutôt du niveau Terminale !



  • Merci, je vais essayer de m'en sortir avec ces éléments.
    En effet la fonction est bien celle que tu as mise
    En gros c'est pour un concours, j'ai pas trouver l'endroit exact où poster le sujet c'est donc ici que je le poste. Maintenant j'ai pas la prétention de "péter plus haut que mon cul" et que les maths sont pas mon fort.
    Si le sujet est ici c'est pou le coté pratique.

    C'est la méthodologie qui me fait défaut.



  • Je te conseille donc de trouver des cours niveau terminale ES ou S sur la fonction logarithme népérien.

    Et je vais déplacer ce sujet dans le forum Ter S ; car dans ce forum, il risque de recevoir plus de réponses que dans Supérieur.



  • pour le 2) j'ai trouvé :

    f(x) >0 sur ]0;1[ puis ]ln(e²);+∞[
    f(x) <0 sur ]1;ln(e²)[

    Quelqu'un peut-il me confirmer ?


  • Modérateurs

    C'est presque juste tu t'es juste trompé sur la deuxième racine, ln(x)-2 ne s'annule pas en ln(e²)=2 mais en ...

    Et puis un petit commentaire, au lieu de dire :
    Citation
    f(x) >0 sur ]0;1[ puis ]ln(e²);+∞[

    Cela ferait un peu mieux de dire : f(x)>0 sur ]0;1[∪]ln(e²);+∞[ (en changeant bien sur le ln(e²) faux). Le U se lit union et signifie que que la propriété est vraie pour tout x de ]0;1[ ou de ]ln(e²);+∞[.



  • Ce que raycage a voulu dire :

    ln(x) – 2 ≥ 0 si et seulement si ln(x) ≥ 2

    or la fonction exponentielle est croissante donc

    ln(x) ≥ 2 si et seulement si eln(x)e^{ln(x)}e2e^2

    or eln(x)e^{ln(x)} = .....

    Ta réponse n'était pas loin de la réponse, mais c'est pas vraiment ln(e2ln(e^2) qui intervient ici !



  • bon pour la dérivée je me prend la tête.

    j'ai utilisé la formule (u.v')+(u'.v)
    où u = ((x-1)/x) et v = (ln(x)-2)
    Je me demande si je dois dériver de nouveau u et v, chose que j'ai faite mais je me retrouve avec O. ça me semble curieux.

    ((x-1)/x)' donnerai [((x-1)'.x)-(x-1).x'] / x²
    x-1 se dérive en 0 (c'est peut être faux) et x se dérive en 0?
    quand à ln(x) il se dérive aussi en 0?

    soit 0 au total???

    Pour le tableau des signes c'est pas ln(e)²? sachant que ln (ex(e^x) = x
    sinon eln(x)e^{ln(x)}= x; donc f(x) >0 sur ]0;1[ U ]eln(2)]e^{ln(2)};+∞[.

    Du coup pour la tagente j'aurai aimé etre sur de ma dérivée



  • Oh lala ! tu as une énorme quantité de travail à fournir pour acquérir le niveau suffisant pour résoudre ce genre d'exercice !

    On reprend depuis le début :

    ln(x) – 2 ≥ 0 si et seulement si ln(x) ≥ 2

    or la fonction exponentielle est croissante donc

    ln(x) ≥ 2 si et seulement si eln(x)e^{ln(x)}e2e^2

    or eln(x)e^{ln(x)} = x

    donc en remplaçant dans la ligne précédente eln(x)e^{ln(x)} par x , on arrive à

    x ≥ e2e^2

    Pour la dérivée on va aussi commencer par le début

    Si v(x) = x alors v'(x) = 1

    Si u(x) = x - 1 alors u'(x) = 1

    Si w(x) = ln(x) alors w'(x) = 1/x

    en décomposant f = g * h avec

    g(x) = (x - 1) / x = u(x) / v(x) ..... et h(x) = ln(x) - 2

    avec u(x) = x - 1 donc u'(x) = 1

    et v(x) = x donc v'(x) = 1

    et g'(x) = (u'(x) v(x) - u(x) v'(x) ) / v2v^2(x) = .....

    et en plus f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x) = .........

    Ce qui devrait être ≠ 0



  • pour la dérivé je trouve : (ln(x) - 2 + x - 1) / x²

    avec g'(x) = 1/x² et h'(x) = 1/x

    Quand au changement de signe il interviendra à eln(2)e_{ln(2)}

    Intervention de Zorro = ajout d'espaces pour régler un souci d'affichage



  • Je trouve en effet comme toi f '(x) = ( ln(x) + x - 3) / x²

    Mais dans la question 3, on ne te demande pas d'étudier le signe de (quoi ?)

    On passe donc à la question 4) ?



  • Pour la tangente je trouve -2 en coefficient directeur et 0 en ordonnée

    Pour le changement de signe c'était pour le 2)

      1. a) u’(x) =1/x + 1
        Lim u(x) + ∞ lorsque x tend vers + ∞. Asymptote oblique
        Lim u(x) - ∞ lorsque x tend vers - ∞ asymptote verticale x =0
        u (x) croissant de 0 à + ∞.

    Petite question : Doit-on donner l'équation de la droite de l'asymptote oblique?

    Sinon pour u(x) =0 je bloque, j'arrive pas à me dépêtrer de cette équation



  • y = f'(a) (x-a) + f(a) à appliquer pour a = 1

    Il faut donc calculer f '(1) = .... et f(1) = ....

    et remplacer dans y = f'(1) (x-1) + f(1) pour trouver une équation du genre

    y = .. x + ..

    C'est cette équation qu'on te demande

    1. u'(x) me semble correct . mais la suite de la question est ""étudier les variations de u""
      Il faut donc commencer par étudier le signe de u'(x) pour pouvoir construire le tableau de variation de u . On le remplira en ajoutant les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction.


  • pour l'équation tu parle de la tangente (soit le 4) ) ou de l'équation u(x)=0 (soit le 5) b) )?
    l'équation de la tangente doit être y=-2x



  • L'expression que je t'ai donnée à 22h55 est celle de la tangente à la courbe représentant la fonction en un point d'abscisse a

    Donc c'est pour la question 4) (tu dois trouver y = -2x + 2 )

    Pour la 5) u'(x) est juste.
    Pour étudier le sens de variation de u , il faut étudier le signe de u'(x) , c'est à dire déterminer sur quels intervalles u'(x) > 0 et u'(x) < 0
    Après cette étude , tu pourras faire le tableau des variations de u.

    Pour les limites , tu sais que I = ]0 ; +∞[
    Il faut donc chercher les limites aux bornes de I c'est à dire 0 et +∞
    Ta limite en +∞ est juste mais maintenant il faut chercher la limite en 0



  • merci beaucoup, pour toutes vos contributions et surtout à toi zorro pour ta patience


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