Factoriser une expression avec des puissances



  • Bonjour bonjour, je rencontre quelques petits problèmes sur un exercice de factorisation que voici :
    1\ Factoriser pour a non nul, xx^nan-a^n

    J'ai tenté de factoriser par ana^n sans grand succés.

    (On nous indique que l'on peut utiliser une quéstion précédement traitée à savoir :
    (a1)((a-1)(\sum_{k=0}^naka^k ) = an+1a^{n+1} - 1 )

    Si quelqu'un peut me mettre sur la piste...merci



  • Salut nico76,

    Je vais rester assez flou pour l'instant pour essayer de te laisser trouver, n'hésite pas à demander plus d'indications si tu veux.

    La formule que l'on te donne en indication suit exactement le même principe que ce que tu dois rechercher, essaie de développer le membre de gauche pour voir comment cela se passe.
    Tu peux aussi remarquer que an+1a^{n+1}-1 c'est égal à aa^{n+1}1n+1-1^{n+1}, on peut donc voir cette formule que l'on te donne comme un cas particulier de ce que tu dois chercher dans le cas où x=1...



  • J'ai compris le raisonement pour la formule en indication, mais j'ai beau éssayer de retourner ca dans tous les sens depuis un moment, je n'arrive pas à l'appliquer ici... :frowning2:



  • Ok, comme je te l'ai fait remarquer plus haut on peut voir que la formule d'indication semble être un cas particulier de la factorisation recherchée dans le cas où x=1.
    Pour ma part je vois deux raisonnements possibles pour obtenir le résultat :

    *Tu peux essayer de remplacer, dans la formule donnée en indication les 1 par des x (puisque cette formule semble être le cas particulier x=1) aux bonnes puissance (à adapter), regarder ce que cela donne et adapter en fonction.

    *Tu peux essayer de factoriser xx^nan-a^n de manière à faire apparaître un facteur du type " bnb^n-1 " que tu pourras ensuite factoriser grâce à la formule donnée en indication.

    Là encore si tu veux d'autres précisions n'hésite pas à demander...



  • Bon alors finalement j'étais sur la bonne voie en factorisant par ana^n

    xnx^n - ana^n = ana^n (xnan\frac{x^n}{a^n} - 1 ) La je pense que c'est bon?

    Je pose b = xa\frac{x}{a} pour être plus clair.

    Donc en suivant le raisonement à l'envers de l'indication :
    ana^n ( \bigsumk=1n\bigsum_{k=1}^n bkb^k - \bigsumk=0n1\bigsum_{k=0}^{n-1} bkb^k ) = ana^n (b\bigsumk=0n1\bigsum_{k=0}^{n-1} bkb^k - $$\bigsum_{k=0}^{n-1}$b^k$ ) = ana^n ( (b-1)(\bigsumk=0n1\bigsum_{k=0}^{n-1} bkb^k ) )

    Et ensuite redistribuer le ana^n (honnetement j'ai pas le courage de le faire sur l'ordi la 😁 )

    Ouf, j'ai le cerveau grillé moi avec tous ces codes, j'éspere au moins que c'est juste 😄



  • Ah désolé je n'avais pas vu cette phrase dans ton premier message :
    Citation
    J'ai tenté de factoriser par ana^n sans grand succés
    ça aurait pu faire gagner un peu de temps.
    Enfin toujours est-il que tu as trouvé le bon résultat et ça doit te donner, après redistribution du ana^n et réécriture du b :
    aa^nxn-x^n = (ax)(a-x)*\bigsum_{k=0}^{n-1}aa^kxn1k*x^{n-1-k}



  • Heu, j'avoue que j'ai du mal à suivre la :frowning2:



  • On avait b=x/a. Si je sépare le ana^n en aan1a*a^{n-1} que je distribue le a dans le facteur (b-1), qui devient alors (x-a) et le an1a^{n-1} dans chaque terme de la somme, qui devient alors bb^ka*a^{n-1}=x=x^kan1k*a^{n-1-k}, on obtient bien le résultat que je te donne plus haut.

    J'espère que ça t'ira je suis un peu pressé, j'ai pas le temps d'expliquer beaucoup mieux...



  • anxn=xn×((a)n1)a^{n}-x^{n}=x^{n} \times ((a')^{n}-1)

    a=axa'=\frac{a}{x}

    anxn=xn×(a1)×n1ap=xn1(ax)n1(ax)p=(ax)×pn1apxn1pa^{n}-x^{n}=x^{n} \times (a'-1)\times \sum_{n-1} a'^{p}=x^{n-1}(a-x) \sum_{n-1}(\frac{a}{x})^{p} =(a-x) \times \sum_{p \leq n-1} a^{p}x^{n-1-p}



  • Il y a d'autres méthodes : exemple :

    p(x)=xnanp(x)=x^{n}-a^{n}

    p(a)=0p(a)=0donc :

    p(x)=(xa)×q(x)=(xa)pn1kp×xpp(x)=(x-a) \times q(x)=(x-a) \sum_{p \leq n-1} k_{p} \times x^{p}

    k0=an1,kp=a1×kp1=anp1k_{0}=a^{n-1},k_{p}=a^{-1} \times k_{p-1}=a^{n-p-1}
    donc

    p(x)=(xa)pn1anp1×xpp(x)=(x-a) \sum_{p \leq n-1} a^{n-p-1} \times x^{p}

    formule correspondant exactement à la formule précédente * par permutation centrale des indices



  • Oui enfin c'est un topic niveau terminale S alors la théorie des polynômes...



  • raycage
    On avait b=x/a. Si je sépare le ana^n en aan1a*a^{n-1} que je distribue le a dans le facteur (b-1), qui devient alors (x-a) et le an1a^{n-1} dans chaque terme de la somme, qui devient alors bb^ka*a^{n-1}=x=x^kan1k*a^{n-1-k}, on obtient bien le résultat que je te donne plus haut.

    J'espère que ça t'ira je suis un peu pressé, j'ai pas le temps d'expliquer beaucoup mieux...

    Oui merci.
    Les quéstions suivantes ca va, mais j'ai une derniere qui pose problème...

    Factoriser pour n impair xx^n+an+a^n(on pourra poser n=2p+1).
    J'ai éssayé la même méthode, mais je me suis vite aperçu que c'était pas possible...



  • Salut nico,

    Ce que tu peux faire c'est poser X=-x, du coup tu as à factoriser (X)(-X)^n+an+a^n, chose que tu dois pouvoir faire... (puisque n est impair).
    Il te suffira ensuite de retransformer X en -x...



  • Ok, donc aprés avoir posé ca, j'écris, aa^nXn-X^n
    Je factorise comme fait précédement,et ensuite je remplace X par -x.

    Je trouve (a+x)((a+x)(\bigsum_{k=0}^{n-1}(a(-a^kxn1kx^{n-1-k}))

    Oui?



  • Bon, j'avais dis que c'était ma derniere quéstion, mais juste une derniere petite demande 😁 :
    Factorise z3z^3 + 8 dans les complexes en produit de facteurs du premier degré.

    J'ai écris z3z^3 + 8 = z3z^3 + 232^3 puis j'ai utilisé la formule du dessus.
    Ce qui donne
    (2+z)((2+z)(\bigsum_{k=0}^{2}(2(-2^kz2kz^{2-k}))

    En fait, mon problème surtout c'est de savoir si ca répond à la quéstion posée...Merci d'avance



  • salut

    puisque i3=i\small i^3 = - i, tu as

    z3+8=z3+23=z3(2i)3z^3 + 8 = z^3 + 2^3 = z^3 - (2i)^3

    ce qui se factorise avec une identité remarquable bien connue (?) à savoir

    a3b3=(ab)(a2+ab+b2).a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).


 

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