Donner la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré

Bonjour,

Sujet : Fonctions Polynômes.

Voici une fonction polynôme du second degré: f(x) = ax² + bx + c ; en factorisant on peut arriver à ce qu'on appelle la forme canonique de f:

f(x) = ax² + bx + c

= a ( x² + bx/a + c/a)

= a ( x² + 2bx/2a + b²/4a² - b²/4a² + c/a) or x² + 2bx/2a + b²/4a² est la forme développée d'une identité remarquable : ( x + b/2a) ²

donc f(x) = a [ ( x + b/2a )² - b²/4a² + 4ac/4a² ) ]

= a [ ( x + b/2a )² - ( b² - 4ac )/4a²] <==== Forme canonique de f.

Or ( x + b/2a )² - ( b² - 4ac )/4a² est la forme développée d'une identité remarquable :

( x + b/2a )² - ( b² - 4ac )/4a²

= [ ( x + b/2a ) + ( √ b² - √4ac )/2a ][(x + b/2a ) - ( √ de b² -√ 4ac )/2a ]

= ( x + b/2a +√ b² - √4ac/2a) ( x + b/2a -√ de b² - √4ac/2a)

donc x' = ( -b - √ b² - √4ac )/2a et x'' = ( -b + √ b² - √4ac )/2a

voilà selon moi la méthode à prendre pour résoudre une équation du type ax² + bx + c.

Mais, on dit qu'en controle on n'a pas le temps de refaire toute la démonstration et qu'on vérifie juste si le discriminant DELTA est
positif, négatif ou nul; si il est positif on en extrait 2 racines comme ci-dessus, si il est nul la racine carré vaut 0 donc s'annule et on a une racine double:

x = -b/2a et si il est négatif l'équation se résout avec les nombres complexes; donc on vérifie le discriminant puis si il est positif on marque directement

les 2 Solutions : x' = ( -b - √ b² - √4ac )/2a et x'' = ( -b + √ b² - √4ac )/2a .

Je trouve cela bizarre car cela veut dire que si un élève n'a pas compris la lecon il faut juste qu'il retienne que
x' = ( -b - √ b² - √4ac )/2a et x'' = ( -b + √b² - √4ac )/2a aprés avoir vérifié le discriminant...

Merci d'avance.

Cordialement.

Salut.

En contrôle, il est clair que tu n'auras jamais le temps de refaire toutes les démonstrations à chaque fois. A partir d'un certain point, des résultats sont supposés connus (admis ?) et c'est leur utilisation qui est visée. D'une certaine manière tu n'as pas tort en trouvant cela "bizarre" ; ton état d'esprit est finalement assez proche de celui du prof.

Voir ce document pour l'utilisation pratique des formules.

Attention tout de même, les racines sont [-b-√(b²-4ac)]/2a et [-b+√(b²-4ac)]/2a et non ce que tu as écrit (√(a+b)≠√a+√b...). Mais effectivement dans la pratique on ne demande pas de savoir d'où viennent les formules mais juste de savoir les appliquer... Il est quand même bon de savoir le redémontrer, ça évite les trous de mémoire et ça permettra de résoudre peut-être des exercices un peu plus compliqués.

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