Barycentres dans un quadrilatère



  • Salut.
    Une autre partie du DM.
    Est ce que vous pourriez vérifier mes réponses et m'aider pour la dernière question s'il vous plait ?

    Dans un quadrilatère ABCD, on désigne par :
    -I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AD] ;
    -P et Q les symétriques de B et D par rapport à C.

    1. Montrer que :
      -P est le barycentre des points pondérés (B ; 1) et (C ; -2);
      -Q est le barycentre des points pondérés (D ; 1) et (C ; -2).

    Solution :
    P est le symétrique de B par rapport à C donc C est le milieu de [BP] et C est isobarycentre des points pondérés (B ; 1) et (P ; 1)
    vec(CB) + vec(CP) = vec(0)
    ⇔vec(CP) + vec(PB) + vec(CP) = vec(0)
    ⇔vec(PB) - 2vec(PC) = vec(0)
    P est donc bien barycentre des points pondérés (C ; -2) et (D ; 1)

    De même pour Q

    1. Vérifier que les points (A ; 1), (B ; 1), (C ;-2), (D ; 1) admettent un barycentre G

    Solution :
    1+1-2+1 = 1\neq0
    G est bien un barycentre des points (A ; 1), (B ; 1), (C ;-2), (D ; 1)

    1. Montrer que I et J sont les milieux respectifs des segments [QG] et [PG]

    Solution :

    G bary (A ; 1), (B ; 1), (C ;-2), (D ; 1)
    ⇔G bary (I ; 2) , (Q ; -1)
    ⇔2vec(GI) - vec(GQ) = vec(0)
    ⇔2vec(GI) - vec(GI) - vec(IQ) = 0
    ⇔vec(IG) + vec(IQ) = 0
    I est donc isobarycentre de (G ; 1), (Q ; 1)

    Même chose pour J

    Jusque là, tout va bien. Mais je n'arrive pas la dernière question :

    1. H est le centre de gravité du triangle ABD.
      Montrer que G est le barycentre de C et H avec des coefficient que l'on déterminera.

    Apparemment , après avoir tracé une figure, les points G, H, et C sont alignés, mais je ne vois pas comment ont y arrive.
    Merci d'avance.



  • Personne pour m'aider?



  • salut

    c'est l'associativité du barycentre avec {(H ; 3), (C ; -2)} au lieu de {(A ; 1), (B ; 1), (C ;-2), (D ; 1)}

    voir quelquepart dans ce cours.



  • Salut à toi Zauctore.

    Si j'ai bien compris, dans le triangle ABD, le centre de gravité H, est le barycentre des points (A,1),(B;1),(D;1).

    On a donc de manière générale, pour tout triangle quelconque ABC, si l'on prend G comme centre de gravité, on a G barycentre des points (A;α\alpha),(B;β\beta),(C;γ\gamma), avec
    α\alpha=β\beta=γ\gamma

    C'est bien cela ?



  • avec des coefficients tous égaux, oui.


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