Barycentres dans un quadrilatère

[LeBoulet]

Salut.
Une autre partie du DM.
Est ce que vous pourriez vérifier mes réponses et m'aider pour la dernière question s'il vous plait ?

Dans un quadrilatère ABCD, on désigne par :
-I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AD] ;
-P et Q les symétriques de B et D par rapport à C.

1. Montrer que :
   -P est le barycentre des points pondérés (B ; 1) et (C ; -2);
   -Q est le barycentre des points pondérés (D ; 1) et (C ; -2).

Solution :
P est le symétrique de B par rapport à C donc C est le milieu de [BP] et C est isobarycentre des points pondérés (B ; 1) et (P ; 1)
vec(CB) + vec(CP) = vec(0)
⇔vec(CP) + vec(PB) + vec(CP) = vec(0)
⇔vec(PB) - 2vec(PC) = vec(0)
P est donc bien barycentre des points pondérés (C ; -2) et (D ; 1)

De même pour Q

2. Vérifier que les points (A ; 1), (B ; 1), (C ;-2), (D ; 1) admettent un barycentre G

Solution :
1+1-2+1 = 1$\ne$0
G est bien un barycentre des points (A ; 1), (B ; 1), (C ;-2), (D ; 1)

3. Montrer que I et J sont les milieux respectifs des segments [QG] et [PG]

Solution :

G bary (A ; 1), (B ; 1), (C ;-2), (D ; 1)
⇔G bary (I ; 2) , (Q ; -1)
⇔2vec(GI) - vec(GQ) = vec(0)
⇔2vec(GI) - vec(GI) - vec(IQ) = 0
⇔vec(IG) + vec(IQ) = 0
I est donc isobarycentre de (G ; 1), (Q ; 1)

Même chose pour J

Jusque là, tout va bien. Mais je n'arrive pas la dernière question :

4. H est le centre de gravité du triangle ABD.
   Montrer que G est le barycentre de C et H avec des coefficient que l'on déterminera.

Apparemment , après avoir tracé une figure, les points G, H, et C sont alignés, mais je ne vois pas comment ont y arrive.
Merci d'avance.

[LeBoulet]

Personne pour m'aider?

[Zauctore]

salut

c'est l'associativité du barycentre avec {(H ; 3), (C ; -2)} au lieu de {(A ; 1), (B ; 1), (C ;-2), (D ; 1)}

voir quelquepart dans ce cours.

[LeBoulet]

Salut à toi Zauctore.

Si j'ai bien compris, dans le triangle ABD, le centre de gravité H, est le barycentre des points (A,1),(B;1),(D;1).

On a donc de manière générale, pour tout triangle quelconque ABC, si l'on prend G comme centre de gravité, on a G barycentre des points (A;$\alpha$),(B;$\beta$),(C;$\gamma$), avec
$\alpha$=$\beta$=$\gamma$

C'est bien cela ?

[Zauctore]

avec des coefficients tous égaux, oui.