Montrer qu'une suite est géométrique et donner son expression



  • bonjour a tous j'ai du mal a faire un DM donc j'aimerai avoir de l'aide svp

    on considere la suite Un definie sur N par Uo=2 U1=4 et pour tout n
    Un+1=4Un - Un-1

    1. calculer U2, juska U5 donc je trouve 14...724

    2. soit ( a,b) un couple de reel tels que a + b=4 ab=1
      a) on note vn la suite define sur N par Vn= Un+1 - aUn
      sans calculer a et b demontre que Vn est une suite geo de raison b en deduire l'expression de Vn en fonction de a b et n

    donc la je trouve bUn - Un-1 et je crois pas que c'est ca

    merci de bien vouloir m'aider



  • quelqu'un svp?



  • salut lea11 - deux secondes stp

    je suppose que ta relation de récurrence est

    un+1=4unun1u_{n+1}=4u_n - u_{n-1}



  • OUi c'est bien ca



  • Ok je l'ai.

    Tu dois montrer que vn+1=bvnv_{n+1} = bv_n

    Pars de vn+1=un+2aun+1v_{n+1} = u_{n+2} - au_{n+1} et remplace seulement un+2u_{n+2} par son expression d'après ta relation de récurrence.

    Tu arriveras à vn+1=bun+1unv_{n+1} = bu_{n+1} - u_{n} et tu pourras finir.



  • ah oui j'ai trouvé ca avec Un+2
    donc Vn+1= b.. mais apres faut que je remplace Un+1?



  • justement pas : jette un oeil à l'expression de vnv_n, elle commence par un+1u_{n+1} !

    il faut que tu utilises le fait que ab=1ab = 1 dans l'expression

    vn+1=bun+11×unv_{n+1} = bu_{n+1} - 1 \times u_{n}
    où j'ai fait apparaîre ce qui décoincera la situation.



  • Zauctore
    justement pas : jette un oeil à l'expression de vnv_n, elle commence par un+1u_{n+1} !

    il faut que tu utilises le fait que ab=1ab = 1 dans l'expression

    vn+1=bun+11×unv_{n+1} = bu_{n+1} - 1 \times u_{n}
    où j'ai fait apparaîre ce qui décoincera la situation.

    mais dans Vn+1 y a pas ab a coté de Un? je comprends pas la



  • mais tu sais que 1=ab1 = ab !

    c'est pour pourvoir factoriser par bb et retrouver l'expression de vnv_n



  • Zauctore
    mais tu sais que 1=ab1 = ab !

    c'est pour pourvoir factoriser par bb et retrouver l'expression de vnv_n

    Vn+1= bUn+1 - abUn



  • donc Vn+1= bVn



  • oui, la suite Vn est donc géométrique de raison b ; tu sauras faire le reste ?



  • en deduire l'xpression de Vn en fonction de a b et n la je vois pas?



  • rappel de cours p 2 equation (9) de ce document



  • Vn= Vo x q^n ?? je vois vraiment pas ce qui faut faire la?

    Vn= Vo x b^n c 'est tout non?



  • trouve Vo sans doute.



  • Vn= (4-2a)q^n voila ?



  • avec q = b, oui tu as l'expression de Vn en fonction de a, b et n.



  • okkk yes lol
    je dois faire la meme chose mai cette fois

    b) on note Wn la suite definie sur N par Wn= Un+1 - bUn
    sans calculer... demontrer que la suite est geo de raison a en deduire Wn en fonction de a b et n..
    je le fais et je t'ai dit ce que j'ai trouvé a tt de suite



  • donc Wn+1=aWn
    et Wn=(4-2b)a^n

    voila

    c)demontrer que pour tout entier naturel n : Un=a^n+b^n
    je dois faire Uo=... puis Un+1 ?? par recurrence?



  • je bloque a Un+1
    pour Uo c'est vrai d'accord mais a Un+1 ??



  • ok pour b)

    pour c) on dirait qu'une récurrence s'impose. mais n'oublie pas de te servir des questions a) et b) donnant les expressions

    un+1bun=(42b)anu_{n+1} - bu_n=(4-2b)a^n
    et
    un+1aun=(42a)bnu_{n+1} - au_n=(4-2a)b^n

    car quelques gesticulations algébriques à partir de ces deux équations permettent d'obtenir directement un=an+bnu_n=a^n+b^n...



  • je dois calculer .; fin non je vois pas la? 😕



  • Cherche un peu ; je posterai au besoin la solution plus tard.



  • nan je vois pas j'ai essayé de calculer Un+1-bUn=(4-2b)a^n mais ca marche pas



  • dpuis ta l'heure j'essaye de faire des remplacements.. mais nan j'y arrive toujours pas



  • re Zauctore

    je bloque toujours sur c)Un=a^n+b^n

    et il y a une derniere question dans mon dm ou je bloque

    d)determiner les couples de reels (a,b) tels que a+b=4 et ab=1
    apres les autres je pense m'en sortir
    si tu peux juste m'aider pour celle la ca serait simpa a ta plus tard
    merci encore



  • Alors le début :

    un+1=bun+(42b)anu_{n+1} = bu_n + (4-2b)a^n
    et
    un+1=aun+(42a)bnu_{n+1} = au_n + (4-2a)b^n

    tu peux former une équation contenant seulement unu_n, a, b et n.

    travaille là dessus !



  • Pour la d) connais-tu le résultat sur la somme et le produit des racines d'un trinôme ? si u et v sont tels que u+v = S et uv = P, alors u et v sont les solutions de ...



  • Zauctore
    Alors le début :

    un+1=bun+(42b)anu_{n+1} = bu_n + (4-2b)a^n
    et
    un+1=aun+(42a)bnu_{n+1} = au_n + (4-2a)b^n

    tu peux former une équation contenant seulement unu_n, a, b et n.

    travaille là dessus !

    je trouve

    Un+1=aUn+(4-2a)b^n
    = aUn+(b-a)b^n


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