Montrer qu'une suite est géométrique et donner son expression

bonjour a tous j'ai du mal a faire un DM donc j'aimerai avoir de l'aide svp

on considere la suite Un definie sur N par Uo=2 U1=4 et pour tout n
Un+1=4Un - Un-1

calculer U2, juska U5 donc je trouve 14...724
soit ( a,b) un couple de reel tels que a + b=4 ab=1
a) on note vn la suite define sur N par Vn= Un+1 - aUn
sans calculer a et b demontre que Vn est une suite geo de raison b en deduire l'expression de Vn en fonction de a b et n

donc la je trouve bUn - Un-1 et je crois pas que c'est ca

merci de bien vouloir m'aider

quelqu'un svp?

salut lea11 - deux secondes stp

je suppose que ta relation de récurrence est

$u_{n+1}=4u_n - u_{n-1}$

OUi c'est bien ca

Ok je l'ai.

Tu dois montrer que $v_{n+1} = bv_n$

Pars de $v_{n+1} = u_{n+2} - au_{n+1}$ et remplace seulement $u_{n+2}$ par son expression d'après ta relation de récurrence.

Tu arriveras à $v_{n+1} = bu_{n+1} - u_{n}$ et tu pourras finir.

ah oui j'ai trouvé ca avec Un+2
donc Vn+1= b.. mais apres faut que je remplace Un+1?

justement pas : jette un oeil à l'expression de $v_n$ , elle commence par $u_{n+1}$ !

il faut que tu utilises le fait que $a b = 1$ dans l'expression

$vn+1=bun+1−1×unv_{n+1} = bu_{n+1} - 1 \times u_{n}$
où j'ai fait apparaîre ce qui décoincera la situation.

Zauctore
justement pas : jette un oeil à l'expression de $v_n$ , elle commence par $u_{n+1}$ !

il faut que tu utilises le fait que $a b = 1$ dans l'expression

$vn+1=bun+1−1×unv_{n+1} = bu_{n+1} - 1 \times u_{n}$
où j'ai fait apparaîre ce qui décoincera la situation.

mais dans Vn+1 y a pas ab a coté de Un? je comprends pas la

mais tu sais que $1 = a b$ !

c'est pour pourvoir factoriser par $b$ et retrouver l'expression de $v_n$

Zauctore
mais tu sais que $1 = a b$ !

c'est pour pourvoir factoriser par $b$ et retrouver l'expression de $v_n$

Vn+1= bUn+1 - abUn

donc Vn+1= bVn

oui, la suite Vn est donc géométrique de raison b ; tu sauras faire le reste ?

en deduire l'xpression de Vn en fonction de a b et n la je vois pas?

rappel de cours p 2 equation (9) de ce document

Vn= Vo x q^n ?? je vois vraiment pas ce qui faut faire la?

Vn= Vo x b^n c 'est tout non?

trouve Vo sans doute.

Vn= (4-2a)q^n voila ?

avec q = b, oui tu as l'expression de Vn en fonction de a, b et n.

okkk yes lol
je dois faire la meme chose mai cette fois

b) on note Wn la suite definie sur N par Wn= Un+1 - bUn
sans calculer... demontrer que la suite est geo de raison a en deduire Wn en fonction de a b et n..
je le fais et je t'ai dit ce que j'ai trouvé a tt de suite

donc Wn+1=aWn
et Wn=(4-2b)a^n

voila

c)demontrer que pour tout entier naturel n : Un=a^n+b^n
je dois faire Uo=... puis Un+1 ?? par recurrence?

je bloque a Un+1
pour Uo c'est vrai d'accord mais a Un+1 ??

ok pour b)

pour c) on dirait qu'une récurrence s'impose. mais n'oublie pas de te servir des questions a) et b) donnant les expressions

$u_{n+1} - bu_n=(4-2b)a^n$
et
$u_{n+1} - au_n=(4-2a)b^n$

car quelques gesticulations algébriques à partir de ces deux équations permettent d'obtenir directement $u_n=a^n+b^n$ ...

je dois calculer .; fin non je vois pas la?

Cherche un peu ; je posterai au besoin la solution plus tard.

nan je vois pas j'ai essayé de calculer Un+1-bUn=(4-2b)a^n mais ca marche pas

dpuis ta l'heure j'essaye de faire des remplacements.. mais nan j'y arrive toujours pas

re Zauctore

je bloque toujours sur c)Un=a^n+b^n

et il y a une derniere question dans mon dm ou je bloque

d)determiner les couples de reels (a,b) tels que a+b=4 et ab=1
apres les autres je pense m'en sortir
si tu peux juste m'aider pour celle la ca serait simpa a ta plus tard
merci encore

Alors le début :

$u_{n+1} = bu_n + (4-2b)a^n$
et
$u_{n+1} = au_n + (4-2a)b^n$

tu peux former une équation contenant seulement $u_n$ , a, b et n.

travaille là dessus !

Pour la d) connais-tu le résultat sur la somme et le produit des racines d'un trinôme ? si u et v sont tels que u+v = S et uv = P, alors u et v sont les solutions de ...

Zauctore
Alors le début :

$u_{n+1} = bu_n + (4-2b)a^n$
et
$u_{n+1} = au_n + (4-2a)b^n$

tu peux former une équation contenant seulement $u_n$ , a, b et n.

travaille là dessus !

je trouve

Un+1=aUn+(4-2a)b^n
= aUn+(b-a)b^n

je vois toujours pas ^^

j'ai tout essayé tout retourné mais toujouts pas la solution :frowning2:

ha ok je viens de comprendre !!!!!
et donc avec les rels je dois juste les remplacer apres dans la question d)

moi
07.09.2008, 15:19
Pour la d) connais-tu le résultat sur la somme et le produit des racines d'un trinôme ?

si u et v sont tels que u+v = S et uv = P, alors u et v sont les solutions de ...
?

nan je conais pas ce théoreme mais je vais chercher la
je vais mi mettre a tout ta l'heure je te dirai si j'ai reussi

lea11
nan je conais pas ce théoreme mais je vais chercher la
je vais mi mettre a tout ta l'heure je te dirai si j'ai reussi

re je viens de finir pratiquement mon dm mais je n'ai toujours pas reussi 2 questions donc voila je viens te voir

d)determiner les couples de reels (a,b) tels que a+b=4 et ab=1
e)en deduire l'expression de Un en fonction de n

si tu peux juste m'aider pour ces dernier ou j'y arrive pas
merci encore
je passerai ce soir ou demain
merci beaucoup

alors en fait c'est une propriété liée aux équations du second degré : si a et b sont tels que a+b = S et ab = P, alors a et b sont les solutions de l'équation x^2 - Sx + P = 0.

dans ton cas, tu formes l'équation $x^2 - 4x + 1 = 0$ , et a, b en seront les solutions.

vois par exemple cet ancien topic (où la démo n'est pas fournie, mais justement c'est un bon défi pour toi).

Zauctore
alors en fait c'est une propriété liée aux équations du second degré : si a et b sont tels que a+b = S et ab = P, alors a et b sont les solutions de l'équation x^2 - Sx + P = 0.

dans ton cas, tu formes l'équation $x^2 - 4x + 1 = 0$ , et a, b en seront les solutions.

vois par exemple cet ancien topic (où la démo n'est pas fournie, mais justement c'est un bon défi pour toi).

je dois faire le discriminant...?(delta .. puis aet b sont les solution? c'est ca?

lea11
Zauctore
alors en fait c'est une propriété liée aux équations du second degré : si a et b sont tels que a+b = S et ab = P, alors a et b sont les solutions de l'équation x^2 - Sx + P = 0.

dans ton cas, tu formes l'équation $x^2 - 4x + 1 = 0$ , et a, b en seront les solutions.

vois par exemple cet ancien topic (où la démo n'est pas fournie, mais justement c'est un bon défi pour toi).

je dois faire le discriminant...?(delta .. puis aet b sont les solution? c'est ca?

voila j'ai trouvé les solutions a et b
je peux passer a la question d)?
commen proceder?