Exercice sur la recurrence



  • Bonjour

    J'ai un problème de maths sur les récurrence où, bien que j'y est passé un bon moments je reste bloquer sur l'hérédité( l'initialisation ne posant pas trop de problème).

    Exercice : Pour tout entier k≥1, on note k! ( ce qui se lit "factorielle k") le produit des k premiers entiers non nuls.
    Montrer que, pour tout n≥1:
    n
    ∑ k*k!=(n+1)!-1
    k=1

    Mon problème étant que je n'arrive pas a démontrer l'hérédité .
    Merci de l'aide que vous pourrez (peut-être) m'apporter



  • Salut, j'ai aussi vu ça aujourd'hui ; pas simple. Donc si quelqu'un pouvait nous aider dans notre raisonnement. Merci

    J'ai essayé mais ne trouve pas la suite :

    On vérifie que la propriété est vraie pour le 1er terme avec n=1 :

    1
    ∑ k*k=(1+1)-1=1 (P)
    1

    Donc (P) est vraie pour n=1

    On suppose que (P) est vraie au rang k. (C'est là que ça se complique).

    i=k
    ∑ i*i=(k+1)-1
    i=1

    Montrons qu'elle est vraie au rang k+1, c.a.d :

    i=k+1
    ∑ i*i=((k+1)+1)-1=k+1
    i=1

    Après je m'embrouille la tête, j'essaye de chercher zazert pour m'entraîner mais je n'y arrive pas.
    Donc,
    i=k+1
    ∑ i*i=
    i=1

    De l'aide ?



  • ALLEZ BASTIEN, FAIT LA SUITE !



  • Montrons par récurrence que
    n=1
    ∑ k² =(n+1)-1
    k=1

    On Vérifie la propriété (P) pour le premier thèrme

    n=1² i=1
    ∑ i² = (1²+1)-1 = 1 (P) est vraie pour n=1
    i=1

    On suppose que (P) est vraie au rang k (<-- Hypothèse (H))

    Montrons que i=k+1
    ∑ i² = ((k+1)²+1)-1=k²+2k
    i=1

    Si (P) est vraie au rang de k i=k
    ∑ i² + (k+1)² = [(k²+1)-1]+ (k+1)²
    i=1 = k²+k²+2k+1
    = 2k² + 2k + 1

    C'est faux !!!!!!!!!



  • On aurait besoin d'aide s'il vous plaît.


  • Modérateurs

    Salut,
    Pour démontrer ce genre d'égalité par récurrence, avec une somme à gauche, il faut simplement ajouter le terme qui manque à cette somme, et se débrouiller à droite pour que ça finisse par ressembler à ce qu'on veut :

    k=1nk×k!=(n+1)!1\sum_{k=1}^{n}k\times k!=(n+1)!-1 (hypothèse de récurrence)

    k=1nk×k!+(n+1)(n+1)!=(n+1)!1+(n+1)(n+1)!\sum_{k=1}^{n}k\times k!+(n+1)(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)! (on ajoute ce qu'on veut de chaque côté)

    k=1n+1k×k!=(n+1)![1+(n+1)]1\sum_{k=1}^{n+1}k\times k!=(n+1)![1+(n+1)]-1 (on a ce qu'on veut à gauche et on "bricole" à droite : factorisation)

    ... je vous laisse terminer ...



  • Vous avez cette formule qui peut vous aider :
    (n + 1)! = n! *(n + 1)

    AH oui merci therry, c'est beaucoup plus rapide!



  • merci pour votre aide 🙂


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