Etudier les variations, limites et convergence d'une suite



  • Bonjour voici mon exercice

    On considére la suite (Un) définie par:
    Uo=0 et U(n+1)= (2Un +3) /(Un+4)

    1. Soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x)=(2x +3) /(x+4)
      (a) Etudier les variations de f et en déduire que, pour tout x de [0,1], f(x) appartient à [0,1].
      (b) Justifier que pour tout entier n, Un appartient à [0,1]
      (c) Représenter graphiquement la fonction f et la droite d'équation y=x dans un repere orthonormal d'unité graphique 10cm.
      (d)En utilisant la graphique précédent, placer sur l'axe des abscisses les points ayant pour abscisses Uo,U1,U2,U3. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite (Un) et de sa convergence?

    2. On considére la suite (Vn) définie, pour tout entier n, par:
      Vn= (Un -1) /(Un+3)
      (a) démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la premier terme et la raison.
      (b)En déduire la limite de la suite (Vn)
      (c)Exprimer Un en fonction de n.
      (d)En déduire la convergence de la suite(Un) et sa limite.

    VOICI MES REPONCES

    On considére la suite (Un) définie par:
    Uo=0 et U(n+1)= (2Un +3) /(Un+4)

    1. Soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x)=(2x +3) /(x+4)

    (a) f est un quotirnt de deux fonctions dérivable sur [0,1], x+4 ne s'annule pas sur [0,1]. Alors f est dérivable sur [0,1], et pour tout réel x dans l'intervalle [0,1]:
    f'x = 5/(2x+3)
    donc f(x) est croissante sur [0,1]

    Comme 3/4 est le minimum en 0 et 1 le maximum en 1 alors pour tout x compris entre [0,1], la fonction f(x) appartient à l'intervalle [0,1]

    b) Par récurrence
    On pose pour tt entier n, Uo=0 et U(n+1)= (2Un +3) /(Un+4) verifie 0<=Un<=1

    1. Montrons que Po est vraie
      Uo=0 et 0 appartien à l'intervalle [0,1]
      donc Po est vraie
    2. Montrons que (Pn) est héréditaire. Soit m un entier, et supposons que Pm soit vraie, c'est à dire 0<=Um<=1
      On doit démontrer que P(m+1)=(2Um +3) /(Um+4) et 0<=U(m+1)<=1
      U(m+1)=(2Um +3) /(Um+4) donc Um=f(Um)
      si x appartient à [0,1]; f(x) apartient à l'intervalle [0,1]
      donc Um appartient à [0,1]
      alors 0<=Um<=1 et comme f(Um)=U(m+1)
      Alors U(m+1) appartient à l'intervalle[0,1]
      P(m+1) est vraie pour tout entier n, (Pn) est héréditaire

    2)a)
    Vo=-1/3 V1=-1/15
    donc V1=Vo*q^(1-0)
    donc -1/15=-1/3 * q
    donc q= 1/5

    alors V(n+1)=Vn*1/5

    je voudrais de l'aide pour la suite svp merci d'avance et si ce que j'ai marqué est bon



  • Bonjour,

    Tout est bon jusqu'à 2)a) .... qui est faux . Tu prends un cas particulier, il faut démontrer que pour tout n , on a bien Vn+1V_{n+1} = q VnV_n

    Pour écrire les indices tu as un bouton "Indice" sous le cadre de saisie , il faut mettre l'indice entre les balises qui vont apparaitre.

    Pour la 1)c) j'ai écrit une fiche ici : Représenter graphiquement une suite

    Pour la suite de l'exo, quand tu auras démontrer que (Vn(V_n) est une suite gééométrique, utilise la formule

    VnV_n = VV_0qnq^n



    1. On considére la suite (Vn) définie, pour tout entier n, par:
      Vn= (Un -1) /(Un+3)
      (a) démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la premier terme et la raison.
      (b)En déduire la limite de la suite (Vn)
      (c)Exprimer Un en fonction de n.
      (d)En déduire la convergence de la suite(Un) et sa limite.

    je n'arrive pas a la 2)a)b)c)d
    svp aidez moi



  • Vn+1V_{n+1} = (Un+1(U_{n+1} - 1) / (Un+1(U_{n+1} + 3)

    Tu remplaces Un+1U_{n+1} par (2Un(2U_n + 3) /(Un/(U_n + 4)

    tu fais quelques calcul et tu dois y arriver

    On fait comme si tu avais trouvé la raison q :

    alors on utilise la formule VnV_n = V0V_0 qnq^n

    Suivant q , la limite de qnq^n sera facile à trouver



  • je n'y arrive pas quand je remplace Un+1 sa me fais un calcul trop bisarre aider moi



  • aider moi svp



  • je marque

    On veut démontrer que pour tout n, et k un entier, Sn>= k

    Montrons que P1 est vrai
    S1=1 et 1=1(qui est un entier)
    donc P1 est vraie

    Montrons que (Pn) est héréditaire. Soit m un entier, supposons Pm vraie
    alors Pm>= k
    Montrons que pour tout n, S(m+1)>= k+1
    S(2m) ≥ S(m) + 1/2
    S(4m) ≥ S(2m) + 1/2 ≥ S(m) + 1/2 + 1/2
    donc S(4m) ≥ k + 1.

    Donc (Pn) est heraditaire et la suite Sn est divergente vers S(4n).

    c bon? pourquoi on prend S(4n)?



  • salut

    cet exo, je l'ai déjà fait sur un autre topic de tuites de term s

    S(4n) marche.



  • (d)En déduire la convergence de la suite(Un) et sa limite

    j'ai trouver Un=(4 /((1/3)*(1/5)^n-1)) + 3
    j'ai trouver que sa limite était -7
    mais je ne sais pas comment faire pour la divergence
    aider moi svp



  • j'ai trouver Un=(4 /((1/3)*(1/5)^n-1)) + 3
    j'ai trouver que sa limite était -7
    mais je ne sais pas comment faire pour la divergence
    aider moi svp


 

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