Calcul de la somme des termes d'une suite

On considère la suite de terme général:
Sn= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)

Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, S(2n) >= (1/2) + Sn

2)Démontrer par récurrence sur k que, pour tout entier k, il existe n tel que Sn>= k. En déduire que la suite (Sn) est divergente.

J'aimerai quelques indication car je ne comprend pas comment faire pour cette exercice
merci d'avance

j'ai fais
Sn= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)
(1/2) + Sn = (3/2) + 1 + (5/6) +...+ (2+n)/(2n)
S(2n)= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/2n)

si je veux montrer que S(2n) >= (1/2) + Sn il faut faire S(2n) - ((1/2) + Sn)

donc 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/2n) - ((3/2) + 1 + (5/6) +...+ (2+n)/(2n) )
= -(1/2) + (-1/2) + (-3/6)+...+((-n-1)/2n)

ce qui ne vas pas car il doit etre positif et pour le 2)b) avec la recurrence et un nombre k je ne sais pa non plus
aidez moi svp

salut
Citation
j'ai fais
Sn= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)
(1/2) + Sn = (3/2) + 1 + (5/6) +...+ (2+n)/(2n)
S(2n)= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/2n)

bizarre !
écris plutôt :

$\begin{align*}s_{2n} &= 1 + \frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n}+\cdots+\frac1{2n}\ &= s_n + \frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}\end{align*}$

alors dans la somme
$1n+1+⋯+12n\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}$
il y a n termes, chacun étant supérieur à $12n\frac{1}{2n}$

tu peux donc écrire et simplifier

$12ns_{2n} \geq s_n + n \times \ \frac1{2n}$

étudie ça tranquillement.
j'avoue que sans question intermédiaire, c'est un peu dur en TS

2)Démontrer par récurrence sur k que, pour tout entier k, il existe n tel que Sn>= k. En déduire que la suite (Sn) est divergente.

pour cette question je ne sais pas comment demarer

On sait que pour tout n on a S(2n) ≥ S(n) + 1/2 (*)

tu fondes le machin, heu la récurrence c'est pour toi

on suppose que pour k, il existe n tel que S(n) ≥ k.
c'est P(k) l'hypothèse de récurrence

on veut montrer que P(k+1) est vraie,
ie qu'on peut trouver un entier n' tel que S(n') ≥ k+1.

or d'après (*) tu as S(4n') ≥ S(2n') + 1/2 ≥ S(n') + 1/2 + 1/2

donc S(4n') ≥ k + 1.

ça roule ?

je marque

On veut démontrer que pour tout n, et k un entier, Sn>= k

Montrons que P1 est vrai
S1=1 et 1=1(qui est un entier)
donc P1 est vraie

Montrons que (Pn) est héréditaire. Soit m un entier, supposons Pm vraie
alors Pm>= k
Montrons que pour tout n, S(m+1)>= k+1
S(2m) ≥ S(m) + 1/2
S(4m) ≥ S(2m) + 1/2 ≥ S(m) + 1/2 + 1/2
donc S(4m) ≥ k + 1.

Donc (Pn) est heraditaire et la suite Sn est divergente vers S(4n).

c bon? pourquoi on prend S(4n)?