Calcul de la somme des termes d'une suite
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Sstella54 dernière édition par Hind
On considère la suite de terme général:
Sn= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)- Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, S(2n) >= (1/2) + Sn
2)Démontrer par récurrence sur k que, pour tout entier k, il existe n tel que Sn>= k. En déduire que la suite (Sn) est divergente.
J'aimerai quelques indication car je ne comprend pas comment faire pour cette exercice
merci d'avancej'ai fais
Sn= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)
(1/2) + Sn = (3/2) + 1 + (5/6) +...+ (2+n)/(2n)
S(2n)= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/2n)si je veux montrer que S(2n) >= (1/2) + Sn il faut faire S(2n) - ((1/2) + Sn)
donc 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/2n) - ((3/2) + 1 + (5/6) +...+ (2+n)/(2n) )
= -(1/2) + (-1/2) + (-3/6)+...+((-n-1)/2n)ce qui ne vas pas car il doit etre positif et pour le 2)b) avec la recurrence et un nombre k je ne sais pa non plus
aidez moi svp
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salut
Citation
j'ai fais
Sn= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)
(1/2) + Sn = (3/2) + 1 + (5/6) +...+ (2+n)/(2n)
S(2n)= 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/2n)bizarre !
écris plutôt :$\begin{align*}s_{2n} &= 1 + \frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n}+\cdots+\frac1{2n}\ &= s_n + \frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}\end{align*}$
alors dans la somme
1n+1+⋯+12n\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}n+11+⋯+2n1
il y a n termes, chacun étant supérieur à 12n\frac{1}{2n}2n1tu peux donc écrire et simplifier
s2n≥sn+n× 12ns_{2n} \geq s_n + n \times \ \frac1{2n}s2n≥sn+n× 2n1
étudie ça tranquillement.
j'avoue que sans question intermédiaire, c'est un peu dur en TS
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Sstella54 dernière édition par
2)Démontrer par récurrence sur k que, pour tout entier k, il existe n tel que Sn>= k. En déduire que la suite (Sn) est divergente.
pour cette question je ne sais pas comment demarer
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On sait que pour tout n on a S(2n) ≥ S(n) + 1/2 (*)
tu fondes le machin, heu la récurrence c'est pour toi
on suppose que pour k, il existe n tel que S(n) ≥ k.
c'est P(k) l'hypothèse de récurrenceon veut montrer que P(k+1) est vraie,
ie qu'on peut trouver un entier n' tel que S(n') ≥ k+1.or d'après (*) tu as S(4n') ≥ S(2n') + 1/2 ≥ S(n') + 1/2 + 1/2
donc S(4n') ≥ k + 1.
ça roule ?
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Sstella54 dernière édition par
je marque
On veut démontrer que pour tout n, et k un entier, Sn>= k
Montrons que P1 est vrai
S1=1 et 1=1(qui est un entier)
donc P1 est vraieMontrons que (Pn) est héréditaire. Soit m un entier, supposons Pm vraie
alors Pm>= k
Montrons que pour tout n, S(m+1)>= k+1
S(2m) ≥ S(m) + 1/2
S(4m) ≥ S(2m) + 1/2 ≥ S(m) + 1/2 + 1/2
donc S(4m) ≥ k + 1.Donc (Pn) est heraditaire et la suite Sn est divergente vers S(4n).
c bon? pourquoi on prend S(4n)?