4. Fonction exponentielle (TS)

Fonction exponentielle (TS)

  • H

    Bonjour bonjour !
    je sais que ce site n'est pas la pour résoudre des exercices comme ça... mais j'ai vraiment besoin d'aide...
    Alors si vous avez un peu de temps et de patience pour m'aider avec ce gros problème qu'est pour moi cet exercice... cela serai juste génial! je suis bloquée à la 2.b)... =(

    Merci d'avance! (je poste à la suite les quelques trucs auquel je pense!)

    Le voici :

    1.a) On considère la fonction £ définie sur R par £(x) = e^x - (1+x). Etudier les variations de cette fonction.
    b) En deduire que pour tout réel, 1+x<= e^x (1)

    c) A partir de l'inegalité (1) montrer que pour tout réel x<1, e^x <= 1/(1-x) (2)

    1. n est un entier naturel non nul.
      a) Déduire de l'inégalité (1) que (1+1/n)^n <= e
      b) Déduire de l'inégalité (2) que e <= (1+1/n)^(n+1)

    2. On considère la suite u définie pour tout entier n>=1 par : u(n) = (1+1/n)^n

    a) Démontrer que pour tout entier n>=1 , 0<= e-u(n) <= 3/n
    b) En déduire que la suite u(n) converge vers e.

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    salut
    bon alors on va pas tout faire, c'est sûr.
    explique un peu ce qui te gêne à la 1.a)
    tu sais dériver, non ? trouver des limites ?

    H 1 réponse
  • H

    Non en fait ça va pour les premières questions j'ai fini par m'en sortir... là je suis bloquée à partir de la 3.

    En fait je pensais pour la 3.a) utiliser le raisonnement par récurence...
    Vous en pensez quoi ?

    parce que pour le moment :
    1ere etape:
    avec n=1; u(1)=(1+1/1)^n
    u(1)=2 or e~2,71
    Ainsi 0<= e-u(1) <= 3
    Donc propriété vérifié !

    2e etape:
    On suppose qu'il existe u(k) (avec k>=0) tel que 0<= e-u(k) <= 3/k
    Ainsi u(k)= (1+1/k)^k
    -> que peut on dire de u(k+1) ?

    u(k+1)=[1+1/(k+1)]^(k+1)

    Et la je ne m'en sort pas du tout... =(

    Alors si vous pouviez juste me donner une petite piste pour me décoincer... (mais si vous avez le temps bien sur !)
    Mercii.

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    Bon alors par récurrence, une double inégalité...
    on va la traiter en deux temps ok ?
    pour commencer, on s'occupe de ≥ 0

    si j'écris pas d'ânerie, voici ce qu'il faut que tu justifies

    d'abord, 1+1n≥1+1n+11 + \frac1n \geq 1 + \frac1{n+1}1+n1​≥1+n+11​

    puis [1+1n]n+1≥[1+1n+1]n+1\left[1 + \frac1n\right]^{n+1} \geq \left[1 + \frac1{n+1}\right]^{n+1}[1+n1​]n+1≥[1+n+11​]n+1

    ensuite e−[1+1n]n+1≤e−[1+1n+1]n+1\text{e} - \left[1 + \frac1n\right]^{n+1} \leq \text{e} - \left[1 + \frac1{n+1}\right]^{n+1}e−[1+n1​]n+1≤e−[1+n+11​]n+1

    et enfin de même e−[1+1n]n≤e−[1+1n]n+1\text{e} - \left[1 + \frac1n\right]^{n} \leq \text{e} - \left[1 + \frac1{n}\right]^{n+1}e−[1+n1​]n≤e−[1+n1​]n+1

    d'où 0≤e−[1+1n]n+10 \leq \text{e} - \left[1 + \frac1{n}\right]^{n+1}0≤e−[1+n1​]n+1

    ça doit montrer que e−un+1≥0e - u_{n+1} \geq 0e−un+1​≥0

    lol : reste à se coltiner la partie ≤ 3/(n+1)

    H 1 réponse
  • H

    Ouii ça marche super ça 🙂

    Merci merci beaucoup!

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