récurrence et congruence

Bonsoir !!!!
j'ai un petit problème avec un excercice j'espère que vous pourrez m'aider !!!

on nous demande de déterminer tous les entiers naturels a et b tels que a^{2}-4b^{2}= 20
j'ai innocemment commencé par essayer de remplacer les nombres par les carrés les plus connus mais je ne trouve pas de solution. je suppose donc qu'il doit y avoir une méthode ou une histoire de logique... bref i'm lost..
j'espère que vous pourrez m'éclairer un tant soit peu!! je vous en remercie par avance..
bonne soirée

salut

Pourtant tu as
$62−4×22=36−16=206^2 - 4\times 2^2 = 36 - 16 = 20$
quant à savoir s'il y en a d'autres, on réfléchit...

Bon alors voilà : puisque l'on peut écrire

$a2−4×b2=4×5a^2 - 4\times b^2 = 4\times5$

alors 4 divise $a^2$ , et le problème revient donc à résoudre

$c^2 - b^2 = 5$
Il s'agit de déterminer toutes les paires de deux carrés qui ont un écart égal à 5.

Or, on a

$\begin{align*} 0^2 &= 0 \ 1^2 &= 1 = 0+1 \ 2^2 &= 4 = 1 + 3\ 3^2 &= 9 = 4 + 5 \ \dots &\dots \ (n+1)^2 &= n^2 + (2n+1) \end{align*}$

ie on passe d'un carré de rang n au suivant de rang n+1 en ajoutant le nombre impair 2n+1.

Ceci montre que le seul cas où l'écart entre deux carrés est 5 se produit pour $3^2$ et $2^2$ .

Est-ce que ça vous va ?

Salut zeilla,

une autre solution consiste à dire que c²-b²=(c-b)(c+b)=5
Donc par unicité de la décomposition en éléments simples, soit on a c+b=5 et c-b=1 soit on a c-b=5 et c+b=1 (c+b étant forcément positif). Il n'y a alors plus qu'à trouver c et b dans chacun des cas et voir lesquels sont cohérents...

Zauctore
salut

Pourtant tu as
$62−4×22=36−16=206^2 - 4\times 2^2 = 36 - 16 = 20$
quant à savoir s'il y en a d'autres, on réfléchit...

J'avoue-_-' il m'a échappé... désolé

je suis p'tetre nunuche mais...j'ai pas bien compris la derniere partie.. à partir de l'exposé des carrés et de l'histoire de n+1...mais bon..merci quand même d'avoir essayé de m'expliquer..

re.

regarde l'argument de raycage : il est plus simple que celui que j'ai donné.