Périodicité et étude de Fonctions trigonométriques

Bonsoir à tous, j'ai un gros problème au niveau d'un dm, je sais pas du tout par quoi commencer et comment faire.
Je ne suis pas tout seul dans ce cas, toute ma classe a du mal a le faire.

Voici l'énoncé de l'exercice :

La fonction f est définie sur R par :

f(x)= sin² x +cosx

Cf est la courbe représentative dans un répère orthonormé ( O ; i ; j )

Démontrer que f est périodique de période 2∏.
Démontrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe Cf.
En déduire que l'on peut restreindre l'intervalle d'étude de f à : [0 ; ∏].
Vérifier que, pour tout réel x : f'(x)= sin x(2 cos x - 1)
Déterminer le signe de f'(x) sur [0 ; ∏].

Svp, si quelqu'un a une idée de la procédure a suivre, merci de m'aider!

Bonjour,

Ici on ne donne pas les réponses toutes mâchées.

Qu'as tu essayé ? Quelle définition connais-tu d'une fonction périodique ? Tu as de la chance , tu ne dois pas chercher la période, on te demande juste de vérifier que f f est périodique de période 2π

Tu nous tiens au courant de tes recherches !

On a fait aucun cours dessus.. malgré tout je fais des recherches depuis avant. Mon but n'est pas de copier betement ce que vous dits, mais de le comprendre et de le faire par moi meme, car en terminale sa ne sert pas a grand de chose de copier dans le vide .

Bon, en faisant des recherches, j'ai trouvé pour la première question :
sin (x+2∏)= sin(x)
donc
sin²(x+2∏)= sin²(x)

idem pour
cos(x+2∏) = cos(x)

f(x+2∏)=sin²(x+2∏)+ cos(x+2∏)
= ..2 ( mais je ne suis pas sur)

Et je ne comprend pas très bien pourquoi on a remplacé x par x+2∏ et pas par 2∏ tout court.

Merci de votre aide.

Oui en effet une fonction f est périodique de période 2π si pour tout x de $mathbb{R}$ alors f(x+2π) = f(x)

Donc en démontrant que sin²(x+2π) + cos(x+2π) = sin²(x) + cos(x) , tu démontres bien que la fonction f est périodique de période 2π.

Alors où coinces tu ?

N'oublie pas d'utiliser que le fonction sin et cos sont périodiques de période 2π .

C'est à dire que sin(x + 2π) = sin(x) et cos(x + 2π) = cos(x)

Pour la 2 ... essaye de te souvenir

de la notion de fonction paire ou impaire
et
des symétries concernant les représentations graphiques ce genre de fonction !

C'est ce que j'ai écris "C'est à dire que sin(x + 2π) = sin(x) et cos(x + 2π) = cos(x) " pour cela dans ma réponse.. mais c'est normal qu'en développant sin²(x+2∏)+ cos(x+2∏) je trouve 2?? ou ja m'arrete la et je développe pas??..
merci

Au fait pour ta remarque :
Citation
On a fait aucun cours dessus.

C'est normal car c'est au programme 1ère (tu vas me dire que ton prof de 1ère n'a pas fait son boulot et que n'en a jamais entendu parlé .... ) mais bon, on a l'habitude de n'avoir que des élèves de profs incompétents !

Moi je n'y crois pas : je reste persuadée qu'il y a plus de profs compétents que d'incompétents.

Pour la 2, f(-x) = sin²(-x) + cos(-x) = -sin²x - cos x = f(x)
C'est sa non, si c'est pas sa, on doit enlever les signes - devant le sin et le cos

Votre pensée n'est pas la mienne, vous ne connaissez point mon prof, on aurait dit faire des math pour elle, c'était la pire chose au mondr, alors comment voulez vous travailler correctement dans ces conditions..

Bref, pouvous vous me dire si c bon ce que j'ai fais?

Merci

quelques imprécisions dans ta réponse !

on sait que sin(-x) = ... (+ ou -) sin(x)

donc $sin(-x)]^2$ = ... car la notation $sin^2$ (x) signifie $sin(-x)]^2$

on sait que cos(-x) = ... (+ ou -) cos(x)

donc f(-x) = ....

donc f(-x) = ....sin² x+cosx..

Donc pour tout x du domaine de définition de f , on a f-x) = ???

donc f paire ou non ?

Oui elle est paire, j'ai deja répondu a ces questions,
j'en suis a la questions 9)
6. En déduire le tableau de variations de f sur [0 ; pi].
7. Représenter graphiquement f sur [0 ; pi], puis sur [-2pi ; 2pi].
8. Démontrer que f(x)=0 a une solution unique alpha sur [0 ; pi]. Donner un encadrement de alpha d'amplitude 10^-3.
9. Résoudre l'éqation (E) :X^2-X-1=0
10. Montrer que alpha est solution de f(x)=0 si, est seulement si, X=cosalpha est solution de (E).
11. En déduire la valeur exacte de cosalpha, et donc approximation plus précise de alpha..

Donc j'ai cos²x+sin²x=1
sin²x=1-cos²x
Je remplace donc sin²x dans f(x) et j'ai cos²x+cosx-1..
est ce que c'est juste?

donc tu en s à la question 9) soit Résoudre l'éqation (E) : $X^2$ - X - 1 = 0

Rassure moi , tu as su la faire ? ! ?

Et f(x) = 0 ⇔ $sin(x)]^2$ + cos(x) = 0

il faut en effet remplacer $sin(x)]^2$ par 1 - $cos(x)]^2$

donc f(x) = 0 ⇔ 1 - $cos(x)]^2$ + cos(x) = 0

et maintenant remplace cos(x) pas X ...

Zorro
donc tu en s à la question 9) soit Résoudre l'éqation (E) : $X^2$ - X - 1 = 0

Rassure moi , tu as su la faire ? ! ?

Oui, quand même, je suis un cas désespéré..
j'ai calculer le delta qui est positive, j'ai donc deux solutions.

en remplacant cos pas X, je tombe sur l'équation de la question 9..

Donc tu y arrives quand tu veux y arriver et que tu réfléchis un tout petit peu .

Méthode à réutiliser !

Comment en déduire la valeur exacte de alpha?

c'est la valeur exacte de cos(α) que tu cherches. Or tu as montré que cos(α) est solution de l'équation (E), dont tu as par ailleurs trouvé les solutions possibles... il ne te reste plus qu'à conclure !

raycage
c'est la valeur exacte de cos(α) que tu cherches. Or tu as montré que cos(α) est solution de l'équation (E), dont tu as par ailleurs trouvé les solutions possibles... il ne te reste plus qu'à conclure !

Oui exactement, j'ai trouvé deux solutions possible l'équation (E)
qui sont (1+√5)÷2 et (1-√5)÷2.. mais pour trouver cos(alpha) je ne vois comment faire..

Et tu sais que cos(α) est solution de (E), du coup tu sais que cos(α) vaut soit ..., soit ... .
En regardant bien ces deux nombres tu verras qu'il y en a un qui ne peut pas être la valeur d'un cosinus...

Remarque : Le nombre (1+√5)/2 est le fameux nombre d'or dont tu as peut-être déjà entendu parler...

raycage
Et tu sais que cos(α) est solution de (E), du coup tu sais que cos(α) vaut soit ..., soit ... .
En regardant bien ces deux nombres tu verras qu'il y en a un qui ne peut pas être la valeur d'un cosinus...

Remarque : Le nombre (1+√5)/2 est le fameux nombre d'or dont tu as peut-être déjà entendu parler...

Puisqu'un cosinus est compris entre -1 et 1,le nombre (1+√5)/2 ne peut pas étre égale au cosinus puiqu'il vaut 1,61....
Donc c'est l'autre a ce que j'ai compris..

Merci pour votre aide.

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