Dérivabilité d'une fonction, variations

Bonjour à toutes/toutes !

J'ai accumulé des lacunes durant mon année de1ère car je ne bossais les maths qu'au strict minimum pour avoir la moyenne (shame on me !), et je souhaite rattraper le coup cette année de terminale.

Un exercice me demande ceci :

Soit f définie sur R par :
f(x) = (x^3) / (x² + 3x + 3)
Etudier la fonction f (dérivée, sens de variation, limites aux bornes).

J'ai donc réalisé ceci :

-> Dérivée
f est une fonction rationelle définie sur R, donc f est dérivable sur R.
Donc la dérivée f' de la fonction f existe et vaut :
f'(x)
= [3x²*(x²+3x+3)-x^3(2x+3)] / [(x²+3x+3)²]
= [(x^4)+(6x^3)+9x²] / [(x^4)+(6x^3)+9x²+18x+9]
= [x²(x²+6x+9)] / [x²(x²+6x+9) +18x+9]
= 1 / (18x+9)

Donc f'(x) = 1 / (18x+9)

-> Tableau de signes de f'(x) :
f' est négatif sur ] -infinie ; -1/2 [
f' est positif sur ] -1/2 ; +infinie [

Cependant cela paraît faux car j'ai tracé la courbe de f sur ma calculatrice, et f est strictement croissante sur R (apparemment).

Auriez-vous une idée du problème s'il vous plaît ?
Merci beaucoup !

Salut,
Le problème vient du fait que tu fois faire attention à tes développements ...

Tu dois trouver comme dérivée :
f'(x)=x²(x+3)²/(x²+3x+3)²