Les relations remarquables.


  • D

    Bonjours,
    Je suis en 1ere S et j'ai un peu de mal en ce début d'année.
    Pouvez vous m'aider à faire cet exercice tout en me l'expliquant.
    Je vous remercie d'avance!

    Une relation remarquable.
    Soit a, b et c trois réels dont la somme est nulle : a + b+ c = 0
    On pose U = ab + bc + ca et V = abc

    1°) Calcul de a² + b² + c²
    Al'aide d'une identité remarquable montrer que : a² + b² + c² = -2U

    2°) Calcul de a³ + b³ + c³ et de a5a^5a5 b5b^5b5 + c5c^5c5
    a) Etablir que pour tout réel x on a : ( x - a )( x - b )( x - c ) = x³ + Ux - V
    b= En déduire les égalités suivantes :
    a³ = V - aU , a4a^4a4 = aV - a²U , a5a^5a5 = -UV + aU² + a²V
    ainsi que les égalités analogues pour b et c.
    c) A l'aide des égalités précédentes, montrer que :
    a³ + b³ + c³ = 3V ; a4a^4a4 + b4b^4b4 + c4c^4c4 = 2U² ;
    a5a^5a5 + b5b^5b5 + c5c^5c5 = -5UV

    3°) Relation remarquable :
    Déduire de ce qui précède que pour trois réels a, b et c tels que : a + b + c = 0, on a :
    (a5(a^5(a5 + b5b^5b5 + c5c^5c5) ÷ 5 = (a² + b² + c²) ÷ 2 × (a³ + b³ + c³) ÷ 3


  • kanial
    Modérateurs

    Salut dem,

    1. calcule (a+b+c)² de deux manières différentes...
      2)a) Développe le premier membre et regarde ce qui se passe
      b)utilise la question a) qui te donne un résultat vrai pour tout réel x en des valeurs particulières de x...
      3)...

    N'hésite pas à poser des questions s'il y a des choses que tu ne comprends pas !


  • D

    Merci pour votre réponse,
    Mais je ne comprend pas comment faire
    Pour le 1) est ce qu'il s'agit d'une identité remarquable ? Faut-il que je calcule a² +b² + c² + 2 (abc) ?
    Et pour la question 2°) a) j'ai dévelloper ( x - a) ( x -b ) = x² - bx -ax + ab puis j'ai multipliée le tout par ( x- c) ce qui me donne :
    x³ - bx² -ax² +abx - cx² + bcx + cax -abc
    comment faire pour arriver à x³ + Ux - V sachant que c'est égal à x³ + abx + bcx + cax - abc ???


  • kanial
    Modérateurs

    Pour le 1), je reprends mon conseil : que vaut (a+b+c)² ?
    Pour le 2), tu pourrais factoriser x² dans les termes qui le contiennent ...


  • D

    J'ai trouvé que ( a + b + c) ² est égal à a² + b² + c² + 2ab + 2 bc + 2ca
    donc pour a² + b² + c² = -2U ,
    j'obtiens : a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = - 2ab - 2bc - 2ca
    Je ne comprend pas comment je dois faire pour arriver à : a² + b² + c² ?


  • kanial
    Modérateurs

    Citation
    ( a + b + c) ² est égal à a² + b² + c² + 2ab + 2 bc + 2ca
    oui ! et 2ab + 2bc + 2ca = 2 (...)
    En outre, a+b+c=0, donc (a+b+c)²=...


  • D

    Merci !
    Pour le 2°) a) vous me dites de factoriser x² dans les termes qui le contiennent 😕
    Pouvez vous m'expliquer comment faire j'en suis incapable


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