Les relations remarquables.

[dem86]

Bonjours,
Je suis en 1ere S et j'ai un peu de mal en ce début d'année.
Pouvez vous m'aider à faire cet exercice tout en me l'expliquant.
Je vous remercie d'avance!

Une relation remarquable.
Soit a, b et c trois réels dont la somme est nulle : a + b+ c = 0
On pose U = ab + bc + ca et V = abc

1°) Calcul de a² + b² + c²
Al'aide d'une identité remarquable montrer que : a² + b² + c² = -2U

2°) Calcul de a³ + b³ + c³ et de $a^5$ $b^5$ + $c^5$
a) Etablir que pour tout réel x on a : ( x - a )( x - b )( x - c ) = x³ + Ux - V
b= En déduire les égalités suivantes :
a³ = V - aU , $a^4$ = aV - a²U , $a^5$ = -UV + aU² + a²V
ainsi que les égalités analogues pour b et c.
c) A l'aide des égalités précédentes, montrer que :
a³ + b³ + c³ = 3V ; $a^4$ + $b^4$ + $c^4$ = 2U² ;
$a^5$ + $b^5$ + $c^5$ = -5UV

3°) Relation remarquable :
Déduire de ce qui précède que pour trois réels a, b et c tels que : a + b + c = 0, on a :
$(a^5$ + $b^5$ + $c^5$) ÷ 5 = (a² + b² + c²) ÷ 2 × (a³ + b³ + c³) ÷ 3

[kanial]

Salut dem,

1. calcule (a+b+c)² de deux manières différentes...
   2)a) Développe le premier membre et regarde ce qui se passe
   b)utilise la question a) qui te donne un résultat vrai pour tout réel x en des valeurs particulières de x...
   3)...

N'hésite pas à poser des questions s'il y a des choses que tu ne comprends pas !

[dem86]

Merci pour votre réponse,
Mais je ne comprend pas comment faire
Pour le 1) est ce qu'il s'agit d'une identité remarquable ? Faut-il que je calcule a² +b² + c² + 2 (abc) ?
Et pour la question 2°) a) j'ai dévelloper ( x - a) ( x -b ) = x² - bx -ax + ab puis j'ai multipliée le tout par ( x- c) ce qui me donne :
x³ - bx² -ax² +abx - cx² + bcx + cax -abc
comment faire pour arriver à x³ + Ux - V sachant que c'est égal à x³ + abx + bcx + cax - abc ???

[kanial]

Pour le 1), je reprends mon conseil : que vaut (a+b+c)² ?
Pour le 2), tu pourrais factoriser x² dans les termes qui le contiennent ...

[dem86]

J'ai trouvé que ( a + b + c) ² est égal à a² + b² + c² + 2ab + 2 bc + 2ca
donc pour a² + b² + c² = -2U ,
j'obtiens : a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = - 2ab - 2bc - 2ca
Je ne comprend pas comment je dois faire pour arriver à : a² + b² + c² ?

[kanial]

Citation
( a + b + c) ² est égal à a² + b² + c² + 2ab + 2 bc + 2ca
oui ! et 2ab + 2bc + 2ca = 2 (...)
En outre, a+b+c=0, donc (a+b+c)²=...

[dem86]

Merci !
Pour le 2°) a) vous me dites de factoriser x² dans les termes qui le contiennent
Pouvez vous m'expliquer comment faire j'en suis incapable