exercice sur les solutions d'une équation du second degré



  • Bonjour a tous , j'aimerai avoir de l'aide pour un exercice que je ne comprend pas du tous car je ne sais pas comment procéder c'est la premiere fois que je vois ce type d'ecriture .

    Soit T1 Et T2 , les solutions distinctes de l'equation x²-x-1=0

    1. Sans calculer T1 et T2 , exprimer sous la forme d'un entier :

    a. T1+T2
    b. T1T2
    c. T²1+T²2 ( on pourra développer ( T1+T2)²)
    d. 1/T1+1/T2

    2 . demontrer que:
    a.T1^3=2T1+1

    b.T^41=3T1+2

    1. Calculer T^31+T^32 et T^41+T^42

    Je ne sais pas comment faire


  • Modérateurs

    Salut,
    Tu ne calcules pas T1 et T2 mais tu calcules T1+T2 en utilisant les formules :
    t1=bδ2at_1=\frac{-b-\sqrt{\delta}}{2a} et t2=b+δ2at_2=\frac{-b+\sqrt{\delta}}{2a}
    Quand tu as réduit au maximum T1 et T2, tu remplaces a, b, c par leurs valeurs respectives.

    A toi !



  • merci ,ok je trouve pour valeur a.T1+T2 = 1
    b. T1T2 = -1

    j'ai procéder différement , sachant que La somme est -b/a, T1+T2 = 1
    sachant que Le produit est c/a, T1T2 = -1

    car x²-x-1, a = 1, b = -1, c = -1

    mais je ne crois pas qu'il faut agir ainsi car il nous demande D'exprimer sous la forme d'un entier sans calculer T1 etT2 donc sans savoir la valeur DE T1 et T2



  • pour la question c je ne vois pas comment procéder , .?.



  • Utilise l'indice donné , développe (T1(T_1 + T2T_2

    Et déduis en : TT_12^2 + TT_22^2 = (T1(T_1 + TT_2)2)^2
    -quoi ?



  • J'ai fais (T1+T2)²= T1²+2-T1T2+T2²
    = T1²+2
    t1*t2+t2²

    mais je ne connais pas la valeur de T1 et de T2 ???



  • Il me semble que (a + b)2b)^2 = a2a^2 + 2ab + b2b^2

    Donc en effet (T1(T_1 + TT_2)2)^2 = TT_12^2 + 2T2T_1T2T_2 + TT_22^2

    Donc TT_12^2 + TT_22^2 = (T1(T_1 + TT_2)2)^2
    -????

    Tu ne connais pas T1T_1 et T2T_2 , mais tu connais T1T_1 + T2T_2 et TT_1T2*T_2



  • Donc T12 + T22 = (T1 + T2)2-(T1 - T2)2



  • ????? je ne comprends pas

    Tu as A = B + C + D donc B + C + D = A donc B + C = A - ???

    P.S. Pour écrire plus joliment les énoncés avec des puissances, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, afin de pouvoir faire la différence entre Un+1U_{n+1} et UnU_n + 1 merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.



  • je ne vois pas trop ce que tu me demande par le -

    B + C = A - b-c



  • Relis bien ceci TT_12^2 + TT_22^2 = (T1(T_1 + TT_2)2)^2
    -????

    En utilisant (T1(T_1 + TT_2)2)^2 = quelque chose + autre chose



  • (T1 + T2)²=T12 + 2T1T2 + T22

    jusqu'a a la on est claire mais quand tu me parle du - je ne vois pas



  • (T1(T_1 + T2T_2)² = TT_12^2 + 2T2T_1T2T_2 + TT_22^2

    Donc TT_12^2 + 2T2T_1T2T_2 + TT_22^2 = (T1 + T2)²

    donc TT_12^2 + TT_22^2 = (T1(T_1 + T2T_2)² - quoi ?



  • T12 + T22 = (T1 + T2)² - T1^²+T2^²

    je suis désolé mais je ne vois pas en gros ce qu'il faut faire
    je crois que t'essaye de me faire comprendre qu'il s'agit d'un calcule a équivalence non ?



  • Bon on reprend sans les T1T_1 et T2T_2

    (a + b)2b)^2 = a2a^2 + b2b^2 + 2ab

    soit a2a^2 + b2b^2 + 2ab = (a + b)2b)^2

    donc a2a^2 + b2b^2 = (a + b)2b)^2
    -quoi ?

    Il faut absolument que tu comprennes ce genre de calcul pour ne pas être très rapidement largué en 1ère S



  • je reconnais une identité remarquable du type a²+b²= (a+b)(a+b)

    mais apres je ne vois pas avec le -



  • NON c'est a2a^2

    • b2b^2 = (a+b) (a-b)

    essaye de partir de a2a^2 + b2b^2 + 2ab = (a + b)2b)^2

    et ajoute - 2ab aux 2 membres de cette égalité !!



  • a²+b²+2ab=(a+b)²
    a²+b²=(a+b)²-2ab

    Voila



  • Ouf ... je croyais que tu n'allais jamais y arriver !

    Donc pour TT_12^2 + TT_22^2 = (T1(T_1 + TT_2)2)^2
    -quoi



  • T12 + T22 = (T1 + T2)2 -2T1T2

    ca doit etre ca d'apres ce que tu m'a expliquer zorro 😁



  • Or tu connais T1T_1 + T2T_2 et TT_1T2T_2

    donc .... tu conclus !

    Tu essayee de te débrouiller avec la suite ! car moi je vais me déconnecter ... demain je travaille très tôt !



  • T1+T2=1
    T1T2=-1

    je conclus que

    T1²+T2²=(T1+T2)-2T1T2
    =(1)-2*(-1)
    =1+2=3

    donc T²1+T²2=3

    ok merci je vais essayer



  • Ma reponse pour la question 4

    (Je reduis au meme dénominateur t1 et t2)

    1/T1+1/T2= T2+T1/T2+T1= 1



  • POur la question 2a. T1^3=2T1+1

    je ne sais pas comment faire , je suis encore bloqué pourrais tu m'éclaircir au sujet de cette démonstration



  • je ne vois pas j'ai essayer mais j'ai pas de pistes question 2a



  • Montrer que TT_13^3 = 2T12T_1 + 1

    revient à montrer que TT_13^3 - 2T12T_1 - 1 = 0

    A toi donc de calculer en te souvenant que T1T_1 est racine

    de x² - x - 1 = 0



  • T13 - 2T1 - 1 = 0

    en remarquant que (-1)^3=-1-1 est une racine apparente

    donc (-1)^3=2(-1)+1

    -1=-2+1
    -1=1



  • voila ma reponse peut tu me dire si c'est juste ???



  • question 2 a voila ma reponse

    T²-T-1 = 0 donc T² = T+1

    On en déduit T^3 = T(T+1) = T²+T

    or T² = T+1

    Donc T^3 = (T+1)+T = 2T+1


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