fonctions et suites

1.On considère la fonction f définir sur ]0 , + ∞[ , par: f(x)= 1/2 (x + 2/x), par:

f(x)= 1/2 (x + 2/x)

a) Etudier le sens de variation de f.
b) Etudier les limites de f en 0 et en + ∞, et montrer que la courbe représentative Cf admet une asymptote oblique delta.
c) Représenter graphiquement Cf et delta. Préciser les coordonnées du point d'intersection de Cf et delta.

On definit une suite (Un) par: Uo=1 et U(n+1)=f(Un).
a) représenter graphiquement les premiers termes de la suites (Un) sur l'axe des ascisses du repére de la question 1.c.
b) Conjecturer alors le comportement de le suite (Un) : sens de variation et limite.
a) Calculer les 5 premiers termes de la suite sous forme fractionnaire.
b) Verifier à l'aide de la calculatrice, les inégalité:
Uo<racine 2<U4
Le but de cette question est de déterminer la limite de (Un).
a) Montrer que pour tout x>0, F(x)-√2 = (x-√2)² /2x
b) Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un>= 1
c) En deduire que pour tout entier n>= 1, on a:
|Un - √2| <= 1/2 (U(n-1)-√2)²
d) en deduire que:
|Un - √2| <= 1/(2^(1+2+2²+...+2(n-1)) * (U0-√2 )^(2n)
e) en remarquant que |Un - rac2| < 1/2, en deduire que:
|Un - √2| <= (1/2)^(2^(n+1)-1)
f) Montrer que pour tout entier n, 2^(n+1) -1 >= n+1. En deduire la limite de (Un).
A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que:
2^(n+1)-1) < 10^(-100)
En deduire que le terme U8 permet d'avoir de façon certaine les 99 premiers décimales de √2.

Deja je trouve cette exercice tres difficile ensuite voila mes reponces pour le 1)

a) j'ai fait la derivé et sa me fait f'(x)= 1/2 - (2/2x²)
c'est donc decroissant de ]-infini,o[ et de ]0; +∞[

mais en faite c'est croissant, decroissant, decroissant croissant mais je sais pas en combien

b) limite en + infini +∞
limite en - infini - ∞
limite en 0+ +∞
limite en 0- - ∞

Asymptote oblique avec delta= (1/2)x
donc f(x) - delta = 2/x

c) je voit pas ou sont les points d'intersection

pour la suite je ne sais pas aidez moi svp

Bonjour,

Première remarque on dit un exercice car le mot exercice (même s'il commence par une voyelle est un mot masculin) .... un avion pourtant on dit l'avion ... on pourrait croire que avion est féminin ..... eh bien non ...

f'(x)= 1/2 - (2/2x²) = f'(x)= 1/2 - (1/x²) = .... mettre au même dénominateur pour étudier avec un tableau de signes le signe de f'(x)

Si tu avais vérifié sur ta calculatrice , tu aurais vu que ta réponse sur les variations de f sont fausses.

Je te laisse corriger tout cela !

Le but de cette question est de déterminer la limite de (Un).
a) Montrer que pour tout x>0, F(x)-√2 = (x-√2)² /2x
b) Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un>= 1
c) En déduire que pour tout entier n>= 1, on a:
|Un - √2| <= 1/2 (U(n-1)-√2)²
d) en déduire que:
|Un - √2| <= 1/(2^(1+2+2²+...+2(n-1)) * (U0-√2 )^(2n)
e) en remarquant que |Un - rac2| < 1/2, en deduire que:
|Un - √2| <= (1/2)^(2^(n+1)-1)
f) Montrer que pour tout entier n, 2^(n+1) -1 >= n+1. En deduire la limite de (Un).
A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que:
2^(n+1)-1) < 10^(-100)
En déduire que le terme U8 permet d'avoir de façon certaine les 99 premiers décimales de √2.

j'aimerai juste des indications pour cette dernière partie que je trouve incompréhensible
merci d'avance

Pour : Montrer que pour tout x>0, f(x)-√2 = (x-√2)² /2x

il faut partir de (x-√2)² /2x , développer et finir par arriver à la même expression que f(x) .

Pour : Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un>= 1

il faut appliquer le principe de la récurrence :
Initialisation : ......
Préparation de l'hérédité : .......
Démonstration de l'hérédité :

Tu essayes et ut nous dis où tu en es de tes recherches !

Le but de cette question est de déterminer la limite de (Un).
a) la c bon

b) Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un>= 1

j'ai fais montrons que po est vraie U0=1 et 1>=1 donc p0 est vraie
Montrons que (Pn) est héréditaire. Supposons un entier m, et supposons Pm vraie,c'est à dire: Um>= 1
Montrons que U(m+1)>= 1

U(m+1)= f(Um)
Si x appartien a l'intervalle ]0, +∞[, alors f(x) appartient à l'intervalle [√2, +∞[
puisque f(x) admet un maximum en √2 qui est √2
COmme Um appartient à ]0, +∞[, alors Um>= 1
Comme U(m+1)= f(Um) alors U(m+1)>= √2 >= 1
donc U(m+1)>= 1
U(m+1) est vraie. (Pn) est héréditaire. Ainsi s'acheve le raisonnement par récurrence, et pour tout entier n, Un>= 1

c) En déduire que pour tout entier n>= 1, on a:
|Un - √2| <= 1/2 (U(n-1)-√2)²
d) en déduire que:
|Un - √2| <= 1/(2^(1+2+2²+...+2(n-1)) * (U0-√2 )^(2n)
e) en remarquant que |Un - rac2| < 1/2, en deduire que:
|Un - √2| <= (1/2)^(2^(n+1)-1)
f) Montrer que pour tout entier n, 2^(n+1) -1 >= n+1. En deduire la limite de (Un).
5) A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que:
2^(n+1)-1) < 10^(-100)
En déduire que le terme U8 permet d'avoir de façon certaine les 99 premiers décimales de √2.

je voudrai savoir si ma recurrence et bonne et ce ke je doit faire pour la suite car je ne comprend pas

Le but de cette question est de déterminer la limite de (Un).
a) la c bon

b) Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un>= 1

j'ai fais montrons que po est vraie U0=1 et 1>=1 donc p0 est vraie
Montrons que (Pn) est héréditaire. Supposons un entier m, et supposons Pm vraie,c'est à dire: Um>= 1
Montrons que U(m+1)>= 1

U(m+1)= f(Um)
Si x appartien a l'intervalle ]0, +∞[, alors f(x) appartient à l'intervalle [√2, +∞[
puisque f(x) admet un maximum en √2 qui est √2
COmme Um appartient à ]0, +∞[, alors Um>= 1
Comme U(m+1)= f(Um) alors U(m+1)>= √2 >= 1
donc U(m+1)>= 1
U(m+1) est vraie. (Pn) est héréditaire. Ainsi s'acheve le raisonnement par récurrence, et pour tout entier n, Un>= 1

c) En déduire que pour tout entier n>= 1, on a:
|Un - √2| <= 1/2 (U(n-1)-√2)²
d) en déduire que:
|Un - √2| <= 1/(2^(1+2+2²+...+2(n-1)) * (U0-√2 )^(2n)
e) en remarquant que |Un - rac2| < 1/2, en deduire que:
|Un - √2| <= (1/2)^(2^(n+1)-1)
f) Montrer que pour tout entier n, 2^(n+1) -1 >= n+1. En deduire la limite de (Un).
5) A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que:
2^(n+1)-1) < 10^(-100)
En déduire que le terme U8 permet d'avoir de façon certaine les 99 premiers décimales de √2.

je voudrai savoir si ma recurrence et bonne et ce ke je doit faire pour la suite car je ne comprend pas

Le but de cette question est de déterminer la limite de (Un).
a) la c bon

b) Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un>= 1

j'ai fais montrons que po est vraie U0=1 et 1>=1 donc p0 est vraie
Montrons que (Pn) est héréditaire. Supposons un entier m, et supposons Pm vraie,c'est à dire: Um>= 1
Montrons que U(m+1)>= 1

U(m+1)= f(Um)
Si x appartien a l'intervalle ]0, +∞[, alors f(x) appartient à l'intervalle [√2, +∞[
puisque f(x) admet un maximum en √2 qui est √2
COmme Um appartient à ]0, +∞[, alors Um>= 1
Comme U(m+1)= f(Um) alors U(m+1)>= √2 >= 1
donc U(m+1)>= 1
U(m+1) est vraie. (Pn) est héréditaire. Ainsi s'acheve le raisonnement par récurrence, et pour tout entier n, Un>= 1

c) En déduire que pour tout entier n>= 1, on a:
|Un - √2| <= 1/2 (U(n-1)-√2)²
d) en déduire que:
|Un - √2| <= 1/(2^(1+2+2²+...+2(n-1)) * (U0-√2 )^(2n)
e) en remarquant que |Un - rac2| < 1/2, en deduire que:
|Un - √2| <= (1/2)^(2^(n+1)-1)
f) Montrer que pour tout entier n, 2^(n+1) -1 >= n+1. En deduire la limite de (Un).
5) A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que:
2^(n+1)-1) < 10^(-100)
En déduire que le terme U8 permet d'avoir de façon certaine les 99 premiers décimales de √2.

je voudrai savoir si ma recurrence et bonne et ce ke je doit faire pour la suite car je ne comprend pas