Etudier la convergence et la croissance de suites

[choupette]

Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider a resoudre cet exercice je n'y arrive pas du tout

On considere une suite (Un) positive et la suite (Vn) defini par: pour tout entier naturel n, Vn=(Un)/(1+(Un))
Les propositiones suivantes sont vrai ou fausse justifiez

1. pour tout entier naturel n, 0 >= Vn >= 1
2. si la suite Un est convergente alors la suite Vn est convergente
   3)si la siute Un est croissante alors la suite Vn est croissante
   4)si la suite Vn est convergente alors la suite Un est convergente

Merci d'avance

[Zauctore]

Salut.
Pour 1 :
tu as bien $u_n$ <= 0 donc (1 + $u_n$ ) <= 1
et ainsi 0 >= $u_n$ / (1 + $u_n$ ) >= 1
Pour 2 :
la fonction définie par f(x) = x/(1 + x) étant continue sauf en -1,
si $u_n$ -> L (qui est nécéssairemnt diff/ -1), alors $v_n$ -> f(L).
Pour 3 :
Calcule $v_{n+1}$ - $v_n$ sachant que $u_{n+1}$ - $u_n$ <= 0.

[choupette]

merci mais je n'arrive pas à calculer Vn+1 - Vn et quelqu'un a une idée pour la question 4?

[Zauctore]

Salut choupette
.
T'as de la chance que je revienne ce soir...

$v_{n+1}$ - $v_n$
= $u_{n+1}$/(1 + $u_{n+1}$) - $u_n$/(1 + $u_n$)
= [ $u_{n+1}$(1 + $u_n$) - $u_n$(1 + $u_{n+1}$) ] / [ (1 + $u_{n+1}$)(1 + $u_n$) ]
= $(u_{n+1}$ - $u_n$) / [ (1 + $u_{n+1}$)(1 + $u_n$) ]
le dénominateur est positif, ainsi que le numérateur car (u ${}_n$) est croissante... donc $(v_n$) est croissante.

C'est tout. Improvise pour 4.
J'espère t'avoir aidée malgré tout !
A +