rationalité des racines du trinôme



  • Voila j'arrive pas a faire ces exercices, aidez-moi svp :


    Ex 1: Soient a , b et c trois entiers impairs.
    Montrer que l'équation ax² + bx + c = 0 n'a pas de solution rationnelle.


    Ex 2 : Trouver trois entiers naturels non nul a,b et c tel que :
    abc+ab+bc+ca+a+b+c = 1000

    Merci d'avance


  • Modérateurs

    Je dois encore réfléchir pour le 1er exo ...
    Mais pour le second, j'ai trouvé une astuce :
    Il faut remarquer que abc+ab+bc+ca+a+b+c=(a+1)(b+1)(c+1)-1
    (ben oui) donc ton équation revient à :
    (a+1)(b+1)(c+1)=1001 .
    Or la décomposition en facteurs premiers de 1001=11137 donc ... je te laisse trouver a,b,c.
    Il est marrant ton prof 😉 c'est pas sûr que je trouve pour le premier !


  • Modérateurs

    Bon j'ai trouvé le pour le 1 mais accroche-toi (çà te donnera peut-être envie de faire spé maths l'année prochaine !).
    Soit un nombre impair I=2k+1 alors I²=4k²+4k+1=4k(k+1)+1=4K+1
    avec K=k(k+1) qui est forcément un nombre pair. On se sert de ce résultat pour la suite [le carré d'un nombre impair est toujours de la forme 4K+1 avec K pair]. Il faut aussi savoir que le carré d'un nombre pair est toujours pair.

    a, b, c sont impairs donc il existe des entiers A, B, C tels que :
    a=2A+1
    b=2B+1
    c=2C+1
    Un calcul du discrimiant conduit à :
    Δ=4(B²+B-4AC-2A-2C-1)+1 donc bien de la forme 4K+1 MAIS K dans ce cas est toujours impair car B²+B=B(B+1) est pair et -4AC-2A-2C l'est aussi (factorisable par 2). Donc Δ étant impair, ne peut être un carré parfait.
    J'ai pris quelques raccourcis : dis-moi si tu ne comprends pas quelquechose mais ne t'inquiète pas c'est une démonstration pour les TS spé maths. S'il existe une autre méthode, je veux bien la connaître ...



  • Merci bcp



  • Est-ce que tu as vu un résultat du genre :
    "sqrtsqrtn est rationnel si et seulement si n est un carré d'entier" ?



  • non jai pas encore vu un resultat de ce genre



  • c'est dommage, car c'est la base de la preuve donnée par Thierry.
    tu connais sans doute cela sur des cas particuliers, comme sqrtsqrt2, sqrtsqrt3 ... qui sont irrationnels.



  • En fait, il y a un peu plus ... élémentaire ! avec des considérations sur le pair et l'impair.

    D'abord, en se convaincant que deus nombres entiers relatifs ne peuvent avoir une somme nulle que s'ils sont tous les deux de même parité.
    Ce qui est clair, car la somme d'un pair et un impair s'écrit
    2m + 2n+1,
    pour m et n entiers relatifs.

    Ensuite, supposons que p/q soit une solution rationnelle de
    ax² + bx + c = 0.
    Alors il vient, en multipliant tout par q²
    ap² + bpq + cq² = 0.
    Souvenons-nous que a, b et c sont trois entiers impairs.

    Les cas de figure à envisager sont

    1. p et q impairs ;
    2. p pair et q impair ;
    3. p impair et q pair.
      En effet, p et q étant premiers entre eux ne peuvent pas être tous les deux pairs.

    Dans le cas 1), on a donc
    ap² impair,
    bpq impair,
    cq² impair.
    Or, la somme algébrique de trois entiers impairs ne peut jamais être nulle ! donc ce cas de figure est impossible.

    Da,s le cas 2), on a
    ap² pair,
    bpq pair,
    cq² impair.
    La somme algébrique de deux nombres entiers pairs et d'un nombre entier impair ne peut jamais être nulle ! donc ce cas de figure est impossible.

    Il en est de même du cas 3).

    Conclusion :

    Une équation ax² + bx + c = 0 avec a, b et c impairs ne peut pas avoir de solution rationnelle.

    Ses racines seront donc toutes du type
    u + v sqrtsqrtw sans que la racine puisse "s'arranger".



  • merci bcp je vien de comprendre le premier exercice


  • Modérateurs

    Je ne sais pas si "élémentaire" est le mot juste ! Mais je veux bien croire qu'elle soit plus élégante 😉


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