Montrer qu'une suite est bornée en étudiant la fonction associée

Bonjour,

Enoncé:

On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel par :
$u_0 = 2$

$un+1=6unun+2u_{n+1} = \frac{6 u_n}{u_n + 2}$

Montrer que pour tout n, on a : $u_n > 0$.

Par récurrence, c’est OK

2- a) Soit f fonction définie sur $\infty [$ par :

$\frac{6 x}{(x + 2)}$

Montrer que f est strictement croissante sur $\infty [$

La aussi, c’est OK
$f'(x) = \frac{12}{(x + 2)^2} >0$
donc f strictement croissante

b) en déduire que pour tout entier n, on a :

$U_n$ < 4

C’est sur cette question que je sèche car il faut le déduire de la stricte monotonie de f

Solutions envisagées :

Tracer la courbe Cf, puis la droite y = x et montrer que Un converge vers 4 avec le point d’intersection A(4 ;4)
Utiliser ce théorème : . . . si (Un) converge vers un réel l appartenant à I inclus dans $R^+$ alors l est la solution de f(x) = x
Mais là, ça se mord la queue puisqu’il faudrait d’abord montrer que (Un) converge !
$lim⁡x→+∞f(x)=6\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x) = {6}$

Peut-on utiliser cette limite pour cette question ? Je doute que ce soit utile.

Essayer de le montrer par récurrence mais dans ce cas, ce n’est pas ‘ déduire ‘ !

Aucune de ces solutions ne semble adaptée . . .

Le reste de l’exo est OK également : variation de (Un), une autre suite (Vn) en fonction de (Un) qui est géométrique, que l’on définit en fonction de n, puis (Un) en fonction de n et enfin, on peut alors montrer que (Un) converge vers 4.

Seul le point 2)b) me pose problème.

Je vous remercie pour votre aide.

Ps : pourquoi, on ne peut pas écrire Un<4 en Latex ? Un>4 ça marche, mais '<' perturbe le message

salut

en déduire, peut-être par récurrence ?

si u_n < 4 alors f(u_n) < f(4) or f(4) = ... ?

au vu de la simplicité de l'argument, c'est bien "en déduire" !

Bonjour,

Très bien, j’adopte la récurrence pour déduire. Elle est simple effectivement . . .

Si Un < 4 alors f(Un) < f(4) car f strictement croissante, conserve l’ordre

or f(4) = 4

Par conséquent f(Un) < 4 or f(Un) = Un+1

Donc Un+1 < 4

Merci beaucoup pour votre aide.