Etude sur une fonction avec des exponentielles !

Bonjour à Tous , j'ai un DM à rendre dans quelques jours mais j'ai quelques questions où je bloque donc j'aimerai avoir des aides

Énoncé : Soit f la fonction définie sur R par f(x)= e^(x) ÷ (e^(x)+1) et C sa courbe.

Justifier ∀x, f(x)= 1 ÷ (1 + e^(-x)).

J'ai détaillé et j'ai réussi a le montrer.

Ensuite il fallait calculer les limites en +∞ et -∞ j'ai trouvé également , les réponse sont 0+ et 1.
IL fallait étudier les variation. j'ai trouver que c'était toujours croissant sur R et f'(x)= e^(-x) ÷ ( 1 + e^(-x))².

4 Prouver que I(0;1/2) est centre de symétrie de C.

Pour cette question je n'y suis pas arriver par contre , en demander a ma prof , elle m'a dit qu'il fallait que je montre que : f(a+x) + f(a-x) = 1 mais je ne trouve pas ce résultat donc je suis bloquer sur cette question.

Ensuite , on a : phi(x)= (1/4)x + 1/2 - f(x)
donc phi(x)= (1/4)x + 1/2 - ( e^(x) ÷ ( e^(x) + 1 ) )

il faut que je prouve que la dérivée de phi est égale à :
phi'(x)= (e^(x) - 1)² / 4(e^(x)+1)².

Et pour cette question même problème je ne trouve pas ce résultat. Je pense me tromper dans mes calculs.
J'espère que vous pourriez m'aider si vous le pouvez.
Merci d'avance .

Lovejp62..

Bonjour,

En effet un point A de coordonnées (a ; b) est centre de symétrie de la représentation d'une fonction si et seulement si :

f(a - x) + f(a + x) = 2b

Il y a plusieurs sites qui en donnent la démonstration :

chercher avec Google et les mots

centre symétrie fonction

Tu trouveras ce qu'il te faut !

Remplacer x par a+x soit 0+x puis par a-x soit 0-x .... ne devrait pas poser trop de problèmes !