exercice sur les nombres complexes finale

[v1ke]

voici 3 exercices que j'aimerais qu'on me corrige en intégralité s'il vous plait avant jeudi car jeudi j'ai un grand DS et il faut que je m'entraine! donc si je pouvais avoir l'intégralité de la réponse merci???

Exercice 1 :
Soit (teta) un réel de l'intervalle : ]-pi/2; pi/2[

1. montrer que : 1+ tan² (teta) = 1/(cos²(teta)
2. On considère les nombres complexes : z1=1+i.tan(teta) et z2= 1-i.tan (teta)
   Calculer le module des nombres complexes : z1,z2, z1/z2 ?
   3)Exprimer en fonction de (teta) un argument de z1,z2et z1/z2
3. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe z1/z2
   En déduire cos 2(teta) et sin 2(teta) en fonction de tan(teta)?

[titor]

alors pour la 1) tan=sin/cos
1+sin²x/cos²x
tu mets au même denominateur tu obtiens cos²x+sin²x/cos²x
le numerateur est egale à 1
voilà pour la 1 les autres je sais pas je connais pas encore les complexes

[v1ke]

exercice 2:
On considere un nombre complexe z vérifiant : z²= $sqrt$2) +i. $sqrt$2)

1. On pose : z=x + iy avex x et y des réels.
   a) Montrer que les réel x et y vérifient le systéme : x²-y²= $sqrt$2) et x.y= $sqrt$2)/2
   b) En comparant les modules de z² et $sqrt$2) +i. $sqrt$2) montrer que : x²+y²=2
   c)En déduire les solutions de l'équation : z²= $sqrt$2)+i. $sqrt$2)

2. On pose z= [(sigma),(teta)]
   a) Calculer un argument de nombre complexe : $sqrt$2)+i. $sqrt$2)
   b)Exprimer en fonction de (sigma) et (teta) le module et un argument de z²?
   c) Ecrire les solutions de l'équation z²= $sqrt$2) +i. $sqrt$2) sous forme trigonométrique?
   d) En comparant les résultats obtenu aux question 1) et 2)
   Donner la valeur exacte de cos pi/8 et sin pi/8?

[v1ke]

Exercice 3 :

1. Transformer en somme les expressions suivantes:
   f(x)=cos 4 x. sin 3 x

2. Calculer la valeur exacte de : A=sin (7pi/24). sin(pi/24)

Voila sa serais une trés grande satisfaction pour moi d'avoir vraiment la démonstration pour voir si j'ai fait une erreur ou si j'ai oublier quelque chose merciiiiiiii MMMMMMMEEEEEERRRRRRRRRCCCCCCCIIIIIIIIIIIII d'avance

[v1ke]

ya til qqn qui travail dessus :$ jsuis géné de dire sa! mais jen ai vrément besoin snif!
merci d'avance!

[v1ke]

sil vous plait! j'ai mon DS jeudi et je n'arrive meme pas a faire la totalité des exercices! merci de repondre

[flight]

ou est precisement l'endroit de l'exercice ou tu n' y arrives pas?

[Zauctore]

Salut Sportif.

Citation

Exercice 1
Soit (theta) un réel de l'intervalle : ]-pi/2; pi/2[

1. Montrer que : 1+ tan² (theta) = 1/(cos²(theta)
2. On considère les nombres complexes : z1=1+i.tan(theta) et z2= 1-i.tan(theta)
   Calculer le module des nombres complexes : z1,z2, z1/z2 ?
3. Exprimer en fonction de (theta) un argument de z1,z2et z1/z2
4. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe z1/z2
   En déduire cos 2(theta) et sin 2(theta) en fonction de tan(theta)?

1) trivial : 1+(sin²(u))/(cos²(u)) = (cos²(u) + sin²(u))/(cos²(u)) = 1/(cos²(u))
avec la relation fondamentale de la trigonométrie : cos²(u) + sin²(u) = 1 pour tout u.

2) |$z_1$|^2 = 1 + tan²(theta) = 1/(cos²(theta))
pour $z_2$, c'est la même chose puisque $z_1$ et $z_2$ sont conjugués. Ainsi, |$z$_1$/z_2$| = 1.

3) Avec $z_1$ = (cos(theta)) + i sin(theta))/(cos(theta)), je dis que le module de $z_1$ est 1/(cos(theta)) et un argument de z
est theta. On a aussi $Arg(z_2$) = -theta
Le cours enseigne que
$Arg(z$_1$/z_2$) = Arg $z_1$ - Arg $z_2$
donc $Arg(z$_1$/z_2$) = 2 theta.

4) On a
$z$_1$/z_2$
= (1 + i tan(theta)) / (1-i tan(theta))
= (1 + i tan(theta))(1 + i (tan(theta)) / (1 + tan²(theta)
avec l'expression conjuguée
= (1 - tan²(theta) + 2 i tan(theta)) / (1 + tan²(theta))
= (1 - tan²(theta)) / (1 + tan²(theta)) + i 2 tan(theta) / (1 + tan²(theta)).
Or la partie réelle de $z$_1$/z_2$ est égale à cos(2 theta) et sa partie imaginaire est sin(2 theta).
Il n'y a plus qu'à identifier :
cos(2 theta) = (1 - tan²(theta)) / (1 + tan²(theta))
sin(2 theta) = 2 tan(theta) / (1 + tan²(theta)).

Sauf inattention.

[v1ke]

Peut-on avoir de l'aide sur les deux dernier exercices car je n'y arrive vraiment pas car on ne l'a pas encore fait en cour!!!merci!

[Zauctore]

v1ke

exercice 2
On considere un nombre complexe z vérifiant : z²= $sqrt$2 +i. $sqrt$2

1. On pose : z=x + iy avec x et y des réels.
   a) Montrer que les réel x et y vérifient le systéme : x²-y²= $sqrt$2 et x.y= $sqrt$2/2
   b) En comparant les modules de z² et $sqrt$2) +i. $sqrt$2) montrer que : x²+y²=2
   c) En déduire les solutions de l'équation : z²= $sqrt$2+i. $sqrt$2

1) a)
(x + iy)² = x² + i²y² + 2xiy = x² - y² + 2ixy
en identifiant les parties réelle et imaginanre, on a
z² = $sqrt$2 +i. $sqrt$2 equiv/ x² - y² = $sqrt$2 et 2xy = $sqrt$2.
on obtient bien les conditions attendues.

b)
|z|² = |$sqrt$2 +i. $sqrt$2| = $sqrt$2 |1 + i| = $sqrt$2) ($sqrt$(1² + 1²) = $sqrt$2 $sqrt$2 = 2.
or, avec z = x + iy, on a |z|² = x² + y².
d'où la condition attendue.

c)
On a donc obtenu les conditions
(C1) x² + y² = 2
(C2) 2xy = $sqrt$2
(C3) x² - y² = $sqrt$2.
Donc, avec (C1) et (C3),
2x² = 2 + $sqrt$2
et 2y² = 2 - $sqrt$2,
donc x² = 1 + $sqrt$2 /2 et y² = 1 - $sqrt$2 /2.
(C2) montre que x et y doivent avoir le même signe.
Alors je prends
x = $sqrt$(1 + $sqrt$2 /2)
y = $sqrt$(1 - $sqrt$2 /2)
pour se rassurer, on peut vérifier que (C2) est respectée.

[Zauctore]

la question 1) c) n'était pas tout-à-fait terminée...
car on peut aussi prendre -x et -y pour avoir les solutions
z = $sqrt$(1+ $sqrt$2 /2) + i $sqrt$(1 - $sqrt$2 /2)
ou
z = -$sqrt$(1+ $sqrt$2 /2) - i $sqrt$(1 - $sqrt$2 /2)

v1ke

2. On pose z= [sigma,theta]
   a) Calculer un argument de nombre complexe : $sqrt$2 + i. $sqrt$2
   b)Exprimer en fonction de sigma et theta le module et un argument de z²?
   c) Ecrire les solutions de l'équation z²= $sqrt$2 +i. $sqrt$2 sous forme trigonométrique.
   d) En comparant les résultats obtenu aux question 1) et 2)
   Donner la valeur exacte de cos(pi/8) et sin(pi/8) ?

Avec "z= [sigma,theta]", c'est le moyen-âge ou quoi ?

2) a)
le cosinus de l'argument de z² est $sqrt$2 /2, égal à son sinus.
un argument est donc pi/4.
le module de z² est 2.

b)
le module de z² est sigma²; l'argument de z² est 2theta.
Voir cours, sans doute.

c)
les solutions de cette équation z²= $sqrt$2 +i. $sqrt$2
sont [rac2 , pi/8] [$sqrt$2 , -pi/8], non ?
car il me semble qu'elles sont conjuguées.

d)
alors, $sqrt$2 cos(pi/8) + $sqrt$2 sin(pi/8) = $sqrt$(1+ $sqrt$2 /2) + i $sqrt$(1 - $sqrt$2 /2)
d'où
cos(pi/8) = $sqrt$(1 + $sqrt$2/2)/)$sqrt$2 = $sqrt$(2 + $sqrt$2)/2
etc...

[v1ke]

arf sil vous plait il me mank lexercice 3

[Zauctore]

Justement : fais-le et marque tes réponses pour une fois, client !

[v1ke]

oui je veux bien le probleme c'est que on as trouver plein de truc et sa fait jamais une somme et sa enerve

[v1ke]

sil te plait car la je suis parti juske o moine 1h du matin car je vais pas lacher temps que jy arive pas! snif!

[Thierry]

v1ke, fais comme moi, va te coucher mon garçon ...

[v1ke]

non je peux pas!!!! sil te plai aide moi c tro dur

[v1ke]

bon ben jai pas beaucoup dormi! jai essayer juske 1h30 du matin!! c pas la volonté qui manque!! pouvez vous me le faire que je comprene merci!