Exercice sur les congruences : 9 + a^2


  • S

    Bonjour,

    j' ai un Dm sur les congruences pour demain et je suis bloqué à un stade et par hasard j' ai trouvé un sujet qui parle du meme exercice mais étant un peu plus loin cela ne m' aide pas réellement le lien est : http://www.mathforu.com/sujet-6523.html

    je recopie quand meme le sujet:

    Citation
    On note (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9 + a² où a est un entier naturel non nul; par exemple :
    10 = 9 + 1²; 13 = 9 + 2², ...
    On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

    1. Etude de l'équation d'inconnue a :
      a² + 9 = 2^n, où a € N, n € N et n ≥ 4.
      a) Montrer que si a exsite, a est impair.
      b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

    2. Etude de l'équation d'inconnue a :
      a² + 9 = 3^n, où a € N, n € N et n ≥ 3.
      a) Montrer que si n ≥ 3, 3^n est congru à 1 ou 3 modulo 4.
      b) Montrer que si a exsite, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
      c) On pose n=2p , où p est un entier naturel tel que p ≥ 2. Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.

    3. Etude de l'équation d'inconnue a :
      a² + p = 5^n où a € N, n € N, n ≥ 2.
      a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impain.
      b) On pose n=2p. En s'inspirant de 2c), démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² + 9 soit une puissance entière de 5.

    je suis à la 2)c) j' ai remplacé n par 2p ce qui donne (3^p)² - a² = 9 ⇔ (3^p - a ) (3^p + a) = 9 mais après je bloque...
    j' ai essayé la 3)a) je bloque également et la 3)b) faut s' inspirer de la 2)c) et j'' arrive pas la 2)c..


  • S

    svp j' aurai besoin d' aide à partir de la 2)c) svp aidez moi je suis a fond dedans depuis 1 semaine!


  • Zauctore

    salut
    Citation

    1. Etude de l'équation d'inconnue a : a² + 9 = 2^n, où a ∈ N, n ∈ N et n ≥ 4.
      a) Montrer que si a existe, a est impair.
      b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
      pour n≥4, on a 2^n ≥ 16.

    a) supposons a pair ; alors a² + ç serait impair. mais 2^n ne l'est pas, ce qui est contradictoire. donc a est impair (s'il existe).

    b) soit a une solution. a étant impair alors a=2p+1, et on a : a² = 4p^2+4p+1 donc
    a²+9 = 1 + 1 = 2 [4]. mais d'un autre côté, on a 2^n = 2^2 2^{n-2} = 0 [9].
    ceci est impossible : un tel a ne peut donc exister.


  • Zauctore

    Citation
    2) Etude de l'équation d'inconnue a : a² + 9 = 3^n, où a ∈ N, n ∈ N et n ≥ 3.
    a) Montrer que si n ≥ 3, 3^n est congru à 1 ou 3 modulo 4.
    b) Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
    c) On pose n=2p , où p est un entier naturel tel que p ≥ 2.
    Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.
    avec n≥3 on a 3^n ≥ 27.

    a) 3^n est impair, comme pour tout nombre impair, son reste modulo 4 est 1 ou 3.

    b) soit a une solution. alors a² = 3^n - 9 est nécessairement impair.
    si a était pair, a² le serait aussi, donc a est impair.

    dans ce cas, alors a²+9 = 4k+9 = 1 [4].
    or si n est impair, alors 3^n = 3×3^{2m} = 3×9^m = 3 [4], ce qui est contradictoire.
    donc n est nécessairement pair.

    c) avec p≥2, on a : 3^{2p} - a² = (3^p-a)(3^p+a). donc si a est une solution, alors
    9 = (3^p-a)(3^p+a). alors on a nécessairement 3^p-a = 1 et 3^p+a = 9 ou 3^p-a = 3 et 3^p+a = 3 ou 3^p-a = 9 et 3^p+a = 1, par unicité de la décomposition en pdt de facteurs premiers. or aucune des conditions 3^p+a = 1 ou 3 ou 9 n'est tenable puisque 3^p ≥ 9 et a non nul.


  • Zauctore

    la fin est en partie là : http://www.mathforu.com/sujet-8323.html


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