Exercice sur les congruences : 9 + a^2

Bonjour,

j' ai un Dm sur les congruences pour demain et je suis bloqué à un stade et par hasard j' ai trouvé un sujet qui parle du meme exercice mais étant un peu plus loin cela ne m' aide pas réellement le lien est : http://www.mathforu.com/sujet-6523.html

je recopie quand meme le sujet:

Citation
On note (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9 + a² où a est un entier naturel non nul; par exemple :
10 = 9 + 1²; 13 = 9 + 2², ...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 2^n, où a € N, n € N et n ≥ 4.
a) Montrer que si a exsite, a est impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 3^n, où a € N, n € N et n ≥ 3.
a) Montrer que si n ≥ 3, 3^n est congru à 1 ou 3 modulo 4.
b) Montrer que si a exsite, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c) On pose n=2p , où p est un entier naturel tel que p ≥ 2. Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.
Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + p = 5^n où a € N, n € N, n ≥ 2.
a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impain.
b) On pose n=2p. En s'inspirant de 2c), démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² + 9 soit une puissance entière de 5.

je suis à la 2)c) j' ai remplacé n par 2p ce qui donne (3^p)² - a² = 9 ⇔ (3^p - a ) (3^p + a) = 9 mais après je bloque...
j' ai essayé la 3)a) je bloque également et la 3)b) faut s' inspirer de la 2)c) et j'' arrive pas la 2)c..

svp j' aurai besoin d' aide à partir de la 2)c) svp aidez moi je suis a fond dedans depuis 1 semaine!

salut
Citation

Etude de l'équation d'inconnue a : a² + 9 = 2^n, où a ∈ N, n ∈ N et n ≥ 4.
a) Montrer que si a existe, a est impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
pour n≥4, on a 2^n ≥ 16.

a) supposons a pair ; alors a² + ç serait impair. mais 2^n ne l'est pas, ce qui est contradictoire. donc a est impair (s'il existe).

b) soit a une solution. a étant impair alors a=2p+1, et on a : a² = 4p^2+4p+1 donc
a²+9 = 1 + 1 = 2 [4]. mais d'un autre côté, on a 2^n = 2^2 2^{n-2} = 0 [9].
ceci est impossible : un tel a ne peut donc exister.

Citation
2) Etude de l'équation d'inconnue a : a² + 9 = 3^n, où a ∈ N, n ∈ N et n ≥ 3.
a) Montrer que si n ≥ 3, 3^n est congru à 1 ou 3 modulo 4.
b) Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c) On pose n=2p , où p est un entier naturel tel que p ≥ 2.
Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.
avec n≥3 on a 3^n ≥ 27.

a) 3^n est impair, comme pour tout nombre impair, son reste modulo 4 est 1 ou 3.

b) soit a une solution. alors a² = 3^n - 9 est nécessairement impair.
si a était pair, a² le serait aussi, donc a est impair.

dans ce cas, alors a²+9 = 4k+9 = 1 [4].
or si n est impair, alors 3^n = 3×3^{2m} = 3×9^m = 3 [4], ce qui est contradictoire.
donc n est nécessairement pair.

c) avec p≥2, on a : 3^{2p} - a² = (3^p-a)(3^p+a). donc si a est une solution, alors
9 = (3^p-a)(3^p+a). alors on a nécessairement 3^p-a = 1 et 3^p+a = 9 ou 3^p-a = 3 et 3^p+a = 3 ou 3^p-a = 9 et 3^p+a = 1, par unicité de la décomposition en pdt de facteurs premiers. or aucune des conditions 3^p+a = 1 ou 3 ou 9 n'est tenable puisque 3^p ≥ 9 et a non nul.

la fin est en partie là : http://www.mathforu.com/sujet-8323.html

@Zauctore il me semble voir une erreur dans la question 2) b. En effet la somme de 2 nbr impaire est paire (2k+1+2p+1=2(k+p+1)). Ce qui signifie que 3^n -9 est paire donc a^2 est paire et a est paire.

@Charles-BAZEROLLE Bonsoir,

C'est exact.

Une correction de cet exercice : https://www.ilemaths.net/img/forum_img/0521/forum_521450_1.pdf