fonction partie entière

[LeBoulet]

Salut, j'ai un DM pour mardi 22 octobre.
Voici l'énoncé.
On note E l'application de $mathbbR$ dans $mathbbR$qui au réel t associe sa partie entière E(t), qui vérifie la relation :
E(t) ≤ t < E(t) + 1

On considère la fonction f de [0 ; 2$pi$] dans $mathbbR$ definie par :

pour tout x de ]0 ; 2$pi$], f(x) = sin(xE($pi$/x) et f(0)=0.

1]Montrer que, pour tout t, t - 1 < E(t) ≤ t

2]Calculer la limite quand x tend vers 0 par valeurs supérieures de la fonction définie par

x → xE($pi$/x) pour 0 < x ≤ 2$pi$

en déduire la continuité de f à l'origine.

3] Résoudre dans [0 ; 2$pi$] l'équation E($pi$/x) = 0

puis l'équation E($pi$/x) = k, avec k entier naturel non nul.

Expliciter f sur les intervalles ]$pi$/3 ; $pi$/2] et ]$pi$/2 ; $pi$].

4]Expliciter f sur ]$pi$/(k+1) ; $pi$/k] k décrivant $mathbbN$*,

en déduire l'étude de la continuité de f sur [0 ; 2$pi$]

5]Etudier la dérivabilité de f sur ]0 , 2$pi$[ ,

préciser les résultats pour les valeurs x = $pi$/x , k entier naturel positif.

6]Pour k entier naturel positif, posons:
$y_k$= lim f(x)
x → $pi$/x
x > $pi$/x

Monter que le point $M_k$ ($pi$/k ; $y_k$) appartient à une courbe ∑,

dont on précisera l'équation, tracer ∑

et la courbe représentative C de la restriction de f à ]$pi$/6 ; $pi$] dans un plan où l'on a choisi un repère (O;i;j), avec :

$\parallel$i$\parallel$=4cm et $\parallel$j$\parallel$=10cm

Bon voilà.
Est ce que vous pourriez m'aider, s'il vous plait?

*Edit de Zorro j'ai un peu aéré pour rendre le tout plus agréable à lire et régler des soucis d'affichage *
(merci Zorro. j'avais effectivement des problèmes d'affichage)

[LeBoulet]

J'ai essayer le 1]. cela donne :

E(t) ≤ t< E(t) + 1
⇔ E(t) -1 ≤ t - 1 < E(t)

On peut donc en déduire la relation suivante :
E(t) - 1 ≤ t - 1 < E(t) ≤ t < E(t) + 1

d'où t - 1 < E(t) ≤ t

*Edit Zorro : même raisons que dans le message initial ... Pense à mettre des espaces et sauter des lignes ! Tu n'es pas sur ton téléphone portable et le nombre des caractères n'est pas limité . *

[Zorro]

Bonjour,

Tu n'as vraiment rien fait ! Nous ne sommes pas là pour faire ton exercice à ta place !

Il faut nous dire ce que tu as cherché et trouvé ! Pour ce que tu as as cherché et pas trouvé, essaye de nous dire pourquoi !

[LeBoulet]

j'ai toujours des soucis d'affichage, car mon inégalité est fausse

[Zorro]

Relis ce que j'ai écrit dans ton dernier message !

[LeBoulet]

pour l'énoncé d'accord, mais pour mes réponses non

[Zorro]

J'ai juste ajouté des espaces !

Que voulais tu répondre ?

Recopie ta réponse avec des espaces à gauche et à droite des < et > et des + et des - !

[LeBoulet]

d'accord

[LeBoulet]

Salut, voici le 1) et le 2) de l'exercice. Est ce que quelqu'un pourrait me dire si j'ai bon, s'il vous plait ?

1)E(t) ≤ t< E(t) + 1 (1)
⇔ E(t) -1 ≤ t - 1 < E(t)

On peut donc en déduire la relation suivante :
E(t) - 1 ≤ t - 1 < E(t) ≤ t < E(t) + 1

d'où t - 1 < E(t) ≤ t (2)

2)en repartant de l'expression 2
t - 1 < E(t) ≤ t
⇔ $pi$/x - 1 < E($pi$/x) ≤ $pi$/x
⇔ x [$pi$/x - 1] < x E($pi$/x) ≤ x $pi$/x
⇔ $pi$ -x < x E($pi$/x) ≤ $pi$

lim $pi$ - x = lim $pi$ = $pi$ lorsque x tend vers 0.
D'après le théorème des gendarmes,
lim [x E($pi$/x)] = $pi$
x→0
(Ca marche avec des espace pour l'affichage)

[LeBoulet]

je n'arrive pas la partie 4, ou il faut démontrer la continuité de f sur [0;2$pi$].
Est ce que quelqu'un peu m'aider s'il vous plait ?
PS:c'est urgent ! alors please