DM : Généralité sur les fonctions



  • Bonsoir ! Alors voila un exercice qui me donne du fil a retordre:

    F est la fonction définie sur l'intervalle I=[1;+∞[ par f(x)=x²-2x
    G est la fonction définie sur l'intervalle J=[-1;+∞[ par g(x)=1+√(x+1)
    On appelle respectivement Cf et Cg leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal.*

    Dans la première partie il s'agit de de déterminer deux réel a et b tels que pour tout x appartenant a I on ait : f(x)=(x-a)²+b. J'ai trouvé f(x)=(x-1)²+(-1) puis il faut résoudre l'équation f(x)=x, on trouve x = 3.

    Dans la deuxième partie faut trouver, a partir de la courbe y=√(x) la transformation géométrique qu'il faut effectuer pour obtenir la courbe Cg. La transformation est une translation de vecteurs -1i + 1j.

    La question sur laquelle je bloque est la suivante :
    Démontrer que la courbe Cf est l'image de la courbe Cg par une symétrie que l'on précisera.

    J'ai fait les courbes pour mieu voir les choses en rouge la coube Cf (avec la fonction carré en pointille ) et en bleu la fonction Cg (avec la fonction racine carré en pointille) http://images.imagehotel.net/vzcqwubifg_tn.png

    Merci de m'aider !



  • les graphiques deux fonctions f et g ont symétriques par rapport à la droite y=x si f(g(x) =x et g(f(x)) =x

    c'est le cas pour la fonction x² et pour √x avec des conditions pour x... tu as étudié cesdeux fonctions dites usuelles en 2nde.

    dans le premier calcul f(g(x)) il n'y apas de problème car x ∈[-1;+∞[
    calculons f(g(x)) = (1+√(x+1))² -2(1+√(x+1)) = 1+2√(x+1) +x+1-2-2√(x+1) = x
    calculons g(f(x)) = 1+√(x²-2x+1) = 1+ |x-1| car x²-2x+1 = (x+1)²

    or x∈[1;+∞[ donc x-1≥0 donc g(f(x))=1+ (x-1) = x

    la droite y=x est l'axe de symétrie


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