DM TS suite + expo : lim (1 + 1/n)^n = e

Bonjour a tous,

J'ai besoin de votre aide : u est la suite definie par u(n) = (1+(1/n))^n pour tout entier n>ou = 1

a) En utilisant les resultats précédents qui sont :
(1+(1/n))^n ≤ e
e ≤ (1+(1/n))^(n+1)

Je dois démontrer que pour tout entier n>ou= 1 que 0 ≤ e-u(n) ≤ 3/n

ok, pas de pb pour 0<e-u(n), mais par contre je vois pas comment faire sortir le 3/n ?!
j'ai essayé de factoriser l'expression (1+1/n)^(n+1) mais sans succès...

Pourriez vous m'aider svp?

Merci d'avance

salut

en remarquant que
$(1+1/n)n+1=(1+1/n)×(1+1/n)n=un+1n,un(1+1/n)^{n+1} = (1+1/n) \times (1+1/n)^{n} = u_n + \frac1n, u_n$
tu obtiens
$\frac1n , u_n\ > \ \text{e} - u_n \ >\ 0$
et il suffit donc de montrer que 3 ≥ u_n pour tout n, ce que tu peux tenter par exemple par récurrence.

nb : pour des raisons liées à l'affichage, je suis contraint d'inverser les inégalités par rapport à ton sujet (i.e. les écrire avec > au lieu de < et donc je change l'ordre des membres), ce qui ne change rien bien entendu !

la j'en suis a

0 < e - Un < 1/n + 1/n^n

mais je vois toujours pas comment faire apparaitre le 3/n ?!

Merci

ok, je vais vous ecrire ce que j'ai fais :

a partir de la : 0 < e -Un < 1/n + 1/n^n

n>1 donc 1/n<1
donc 1/n^n < 1/n

1/n^n + 1/n < 1/n + 1/n

1/n^n + 1/n < 2/n

comme n>1 on a 2/n < 3/n

donc 1/n^n + 1/n < 3/n

d'ou finalement on peut ecrire a partir de :

0 < e-Un < 1/n + 1/n^n

0 < e-Un < 3/n car 1/n^n + 1/n < 3/n

voila, desolé pour l'ecriture illisible, mais je m'en sors pas avec les ecritures mathematiques ^^

dites moi ce que vous en pensez

c'est dur à lire, en effet...
il suffit de mettre des parenthèses ou d'utiliser le visualisateur LaTeX.

ok j'essayerai merci

par contre j'ai un probleme pour la suite,il faut que j'en déduise que u converge vers e

je fais comment?

Merci

la suite (3/n) tend vers 0 ; avec le théorème d'encadrement des limites (ou des gendarmes) tu as ta réponse.

euh non je ne vois pas...

mais si voyons :

0 < e-Un <
3/n

la suite e - u_n est bloquée à gauche par 0 et à droite elle est inférieure à
une suite qui tend vers 0!

le thm me di que si f(x) < g(x) < h(x)

et si lim f(x) = lim h(x) = L

alors lim g(x) = L

voilà c'est ça : ici, tu as L = 0 !

plutôt que le truc formel que tu m'as ressorti, il faut que tu rendes "parlant" cet énoncé.

ca voudrait dire que

lim e-un = 0

donc lim un = e (car lim e =0 impossible?)

oui : e-u_n tend vers zéro signifie exactement que u_n tend vers e.

quelle vie!!!

Merci beaucoup!!