Dérivations [primitive de 1/(1+x^2)]

Bonjour, j'ai quelques petits soucis pour faire un exercice d'un devoir maison, donc je voudrais avoir votre avis ...

F est une fonction définie et dérivable sur IR telle que:
F(0)=0 et pour tout réel x F'(x)= 1/(1+x²)

G est la fonction définie sur IR par : G(x)=F(x) + F(-x)
1- Justifier que G est dérivable sur IR et calculer G'(x). Que peut on en déduire pour G ?
2- Calculer G(0), en déduire que F est un fontion impaire.

Je ne vois pas comment je peux justifer l'ensemble de dérivabilité (somme de fonctions dérivable sur IR ??), pour calculer G'(x), j'ai fait F'(x) + F'(-x)=2/(1+x²) , mais je ne sais pas si c'est juste ...
De plus je ne sais pas quoi en déduire pour G.
Et pour G(0) je fait : G(0)=F(0) + F(-0)=0, mais ça me parait illogique par rapport à ce que je doit montrer aprés (F fonction impaire donc F(x) = -F(x) . . .)

Merci de m'aider !!!
A bientot

cf ce topic

Merci beaucoup, désolée je n'avais pas vu ce topic
Une dernière petite question,
On a G qui passe par 0 en 0 et dont la dérivée est nulle sur IR [ Je rapelle que G(x)=F(x) + F(-x) ]
Comme puis je conclure que F est une fonction impaire ? Je ne trouve rien dans mon cours qui me permette de dire ça ...

G est constante, puisque de dérivée nulle ; elle vaut donc toujours 0, qui est sa valeur en une abscisse particulière.

donc pour tout x, tu as F(x) + F(-x) = 0, d'où F(-x) = -F(x) ce qui montre bien que F est impaire.

C'est encore moi ...
J'ai encore un probleme sur ce meme exercice mais sur une autre question.
Les données pour la fonction F sont toujours les memes que précédemment.

H définie sur I= ]0;+∞[ par H(x)=F(x) + F(1/x)
J'ai déterminé H'(x)=0 (donc H constante),mais comment justifier que H est dérivable sur I ??
De H'(x), je dois en déduire que pour tout x de I, H(x)=2F(1)
Je ne vois pas comment m'y prendre ...:rolling_eyes:

K est la fonction définie sur ]-Pi/2 ; Pi/2[ par : K(x)= F(tanx) - x
1- Calculer K'(x)
Je ne vois pas comment faire, d'autant plus que je n'ai pas les formules des dérivées avec tan !
En déduire que pour tout x de ]-Pi/2 ; Pi/2[ , K(x)=0
2- Calculer F(1) [on rapelle que tan (Pi/4) = 1 ]

Merci de m'aider, c'est vraiment gentil

re.

i. F est dérivable sur I ? et x→1/x ? que dit le théorème de dérivation d'une fonction composée ?

ii. si H' = 0, ça veut dire que H est constante, donc par exemple que pour tout x tu as H(x) = H(1)...

iii. si tu n'as rien sur la dérivée de tan, tu peux au moins te rabattre sur sa définition : sinx / cosx. vas-y ensuite en dérivant une fonction composée.

Ok merci ! J'essaye tout ça et je reviens en cas de problemes !
Merci

Bonjour, je bloque pour la dérivée K'(x) sur ]-Pi/2 ; Pi/2[...
J'ai fait : K(x) = F(sinx/cosx) - x
D'ou K'(x) = (sinx/cosx)' * F'(sinx/cosx) -1
K'(x) = [(cos²x + sin²x)/(cos²x)] * [1/(1+(sin²x/cos²x))] - 1
K'(x) = 1+sin²x * . . . . ???

Je sais pas trop comment réduire, et vu la suite de l'exercice, je dois arriver à K'(x) = 0 ( K(x)=0 sur ]-Pi/2 ; Pi/2[ )