problème de pesticides dans l'eau potable : modèle discret et continu



  • Mon fils a un exercice et a des difficultés a démontrer certains points. Je vous serai gre de bien vouloir prendre en compte cette demande et de répondre pour mercredi soir car exercice a rendre jeudi d avance merci

    Exercice de maths :

    L’eau utilisée pour la production d’eau potable doit contenir moins de 0,000 005 g de pesticides par litre (norme française en 2001)
    La retenue du barrage de Lavalette contient environ 40 millions de m3 d’eau. Ce barrage est alimenté par le Lignon dont le débit est d’environ 600 m3/min
    On suppose que la retenue est subitement polluée par 800 kg de pesticides.

     600 m3/min
    retenue pleine
    40 millions de m3
    600 m3/mn

    Pour simplifier, on considérera que la quantité de pesticides se mélange parfaitement et en permanence dans la totalité de l’eau de cette retenue.

    I. On se demande au bout de combien de temps l’eau de la retenue pourra être à nouveau utilisée pour produire de l’eau potable.

    Question préliminaire : Démontrer que l’eau de la retenue redeviendra potable lorsqu ‘elle contiendra plus que 200 kg de pesticides.

    1. Modèle discret
      Pour tout entier naturel n , on note mn la masse totale en kg de pesticides dans la retenue n minutes après le début de la pollution . On a donc m0 = 800
      a> Démontrer que (mn) est une suite géométrique de raison 0,999 985
      b> L’eau de la retenue pourra-t-elle être utilisée pour produire de l’eau potable deux mois après la pollution ?
      c> A l’aide du tableur de la calculatrice, déterminer au bout de combien de temps l’eau de la retenue pourra être à nouveau utilisée pour produire de l’eau potable
      (la réponse en minutes sera traduite en jours, heures, minutes)

    2. Modèle continu
      Pour tout réel t , t>=0, on note m(t) la masse totale en kg de pesticides dans la retenus t minutes après le début de la pollution . On suppose que la fonction t  m(t) est dérivable sur [0 ; +infini[
      a> Justifier que la fonction m est solution de l’équation différentielle (1) y’=-0,000015y
      b> Sachant que m0=800, exprimer m(t)en fonction de t
      c> Selon ce modèle, au bout de combien de temps l’eau de la retenue pourra être à nouveau utilisée pour produire de l’eau potable

    pour le 1 a il a ecrit : suite géom de la forme mn = m0 x qp(n) avec q= 0,999985 et n appartenant {1;2;3;...;n}
    et pour le 2 b : il a écrit : pour exprimer m(t) en fct de t on utilise la question préliminaire m(t) = 800. ((40 x10p6) x 600t)/40 x10p6

    vous pouvez répondre directement sur les mails la mienne coatelen@aol.com
    ou la sienne toriisk8@aol.com

    d avance merci a tous


  • Modérateurs

    Bonjour,
    Pour la question préliminaire une simple division suffit
    1)a)
    m(n+1)=m(n) moins "ce qui sort"
    "ce qui sort" = 600m(n)/40000000
    En mettant m(n) en facteur, on trouve m(n+1)=m(n)q
    b) Il faut trouver le nombre x de minutes qu'il y a dans 2 mois puis calculer m(x)
    2)a)
    dm=-600/40000000
    m
    dt donc dm/dt= ce qui est demandé (dm/dt devient y' et m devient y)
    b) Il faut résoudre l'équation différentielle à l'aide des formules du cours et de la condition initiale
    c) Quand on a trouvé m(t) il faut résoudre m(t)=200

    Bon travail au fiston et courage au papa 😉



  • merci encore pour lui je viens de le contacter il se connecte dommage car nous sommes sur meaux 77


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