Déterminer a et b pour qu'une suite soit arithmétique, puis soit géométrique



  • Bonjour, j'ai un exercice sur les suites et je bloque dés la première question;

    (Un) un suite numérique définie sur N* par u1=1u_1=1 et un=ea,un1+bu_n=\text{e}^a, u_{n-1} +b
    a et b sont deux réels avec b>=0

    1. pour quelle valeur de a et de b, la suite est elle arithmétique (on exclura le cas ou la suite est constante)

    J'ai donc posé U1=e^a x 0+b=1,
    Un-1=0, puisque Un est dééfinie sur N*, U1 est donc le premier terme et il n'y a pas de terme précédent Un-1.

    Mais, je ne sais pas comment trouver a

    Puis, j'ai la même question, si cn n'est qu'il faut déterminer a et b pour que Un soit géométrique

    Pouvez vous me mettre sur la piste. Merci



  • salut

    quelle est la définition d'une suite arithmétique ?

    si tu sais répondre à cela, la question 1 sera une formalité.

    ce sera la même approche pour une suite géométrique.



  • Une suite est arithmétique si Un+1=Un+a
    Pour que (ea)un1=un1(e^a)un-1=un-1, il faut que ea=1e^a=1, donc a=0
    et b=1, pour que U1=1, car Un-1=0, quand Un est défini sur N* et que Un=U1
    Est-ce cela?

    Je sais qu'une suite géométrique Un+1=b x Un, mais je n'arrive pas à poursuivre ma reflexion 😕



  • attention à tes indices et à tes notations : un=un1+ru_n = u_{n-1} + r impose donc comme tu l'as vu que ea=1\text{e}^a = 1 mais le nombre bb peut être quelconque (pas zéro par contre).

    pour la suite géométrique, tu dois avoir un=qun1u_n = q u_{n-1}
    donc q =... d'où à ; alors que b = 0.



  • Oui, mais si b est quelquonque, comment pourrai-je ensuite calculer la somme n premiers termes et ensuite déterminer sa limite

    Pour la suite géométrique, q est aussi quelquonque?



  • ne mélange pas tout ; je réponds à ton premier post. tu me parles de somme de termes alors que tu n'as pas posté les question suivantes.

    reprenons : (un)(u_n) est arithmétique non constante si et seulement si ea=1\text{e}^a = 1 et b0b \ne 0
    b sera la raison de la suite.

    ensuite : (un)(u_n) est géométrique ssi a0a \ne 0 et b=0b = 0.
    en effet, q=eaq = \text{e}^a est la raison quelconque diff de 1, pour la suite soit non-constante.



  • Vous avez raison. Il faut faire une chose à la fois.
    J'ai bien compris qu'il faut que ea=1e^a=1 pour qu'il ne reste que un=un1+bun=un-1+b;
    ea=1e^a=1, quand a=0a=0. b ne doit pas être nul, car il est la raison de la suite.

    Pour déterminer la somme:
    s=u1(1bn)/(1b)s=u1 * (1-b^n)/(1-b)
    donc s=(1bn)/(1b)s=(1-b^n)/(1-b)

    Alors, pouvez vous me dire si j'ai bon jusque là? car aprés, je dois déterminer la limite de la somme Sn

    Je tiens à vous remercier; Les exercices que l'on a jusqu'à maintenant fait en cours ne m'ont pas semblé foncièrement dur. Il fallait déterminer la raison en sachant le premier terme ou déterminer une relation entre 2 termes quelconques, calculer la somme des 10 premiers termes... Des exercices de bases en soit. Mais, cet exercice là me semble bizarre, car je trouve que l'on a pas beaucoup de données :rolling_eyes:



  • les sommes que tu as écrites sont peut-être correctes, sauf qu'on ne sait pas dans quel contexte tu te situes : suite arithm"tique, ou bien géométrique ? il semblerait qu'il y ait un certain mélange dans ce que tu donnes.

    remarque : lorsque tu es en LaTeX et que tu veux écrire n-1 en indice, il faut coder ainsi
    U_{n-1}
    avec des crochets pour délimiter l'indice.



  • La somme déterminée correspond à la suite arithmétique :rolling_eyes:



  • alors il faut que tu revoies ton cours : la somme des m premiers termes d'une suite arithmétique de raison b et de premier terme u_1 est donnée par

    $\begin{align} u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n &= u_1 + (u_1 +b) + (u_1 + 2b) \cdots + (u_1 + (n-1) b) \ &= n u_1 , +, \frac{(n-1)n}{2} \end{align}$



  • Ce n'est pas s=nombredeterme2(premierterme+dernierterme)s=\frac{nombre de terme}2*(premier terme+dernier terme)
    s=n2(1+un)s=\frac{n}2*(1+un)
    Le premier terme est u1=1u1=1; le dernier terme estunun



  • oui aussi ; le problème étant que tu ne connais pas U_n sauf à dire que c'est... à toi de trouver ! (ça redonnera la même chose que ce que j'ai écrit)



  • Peut-on trouver Un avec ce que j'ai comme données ?! c'est impossible !



  • U_n = U_1 + (n-1)b.



  • J'avais appris que pour trouver une relation entre un terme quelconque Un et le premier terme U1, il fallait utiliser U_n=U_1+nb
    Après, je vous laisse tranquille 😉 Vous m'avez suffisamment aider. A moi, de travailler



  • U_2 = U_1 + b
    U_3 = U_2 + b = U_1 + 2b
    etc.
    il y a un décalage entre l'indice et le rang.

    à ne pas confondre avec la formule à partir de U_0.



  • Comprends pas comment vous arriver à trouver s=nu1+(n1)n2s=nu1+\frac{(n-1)n}{2}
    Quand je remplace Un par u1+(n1)bu1+(n-1)b
    dans s=n2(u1+un)s=\frac{n}{2}*(u1+un)
    Je ne trouve jamais votre résultat :frowning2:



  • Comprends pas comment vous arriver à trouver s=nu1+(n1)n2s=nu1+\frac{(n-1)n}{2}
    Quand je remplace Un par u1+(n1)bu1+(n-1)b
    dans s=n2(u1+un)s=\frac{n}{2}*(u1+un)
    Je ne trouve jamais votre résultat :frowning2:



  • et pourtant si :

    S_n = n/2 (U_1 + U_1 + (n-1)b) = n/2 (2U_1 + (n-1)b) = n U_1 + n(n-1)/2 b.



  • C'est juste !
    Je bloquais parce que je remplaçais directement U1 par 1. :rolling_eyes:
    Un grand merci


 

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