Montrer des égalités de vecteurs en utilisant la relation du barycentre

Bonjour !

J' ai un DM sur le Baycentre, et je doute sur une question. Pourriez-vous m' aidez s' il vous plaît ? Voici l' énoncé :

A et B sont deux points distincts donnés du plan.

1/
a- Construire le barycentre G de ( A, 2 ) et ( B, 1 )
b- Pour tout points M du plan, exprimer 2MA*+MB* en fonction de MG*.

2/
a- Quel est l' ensemble E1 des points M pour lesquels les vecteurs 2MA*+MB* et AB* sont colinéaires ?
b- Quel est l' ensemble E2 des points M tels que :
//2MA*+MB*//=AB ?
c- Quel est l' ensemble E3 des points M tels que :
//2MA*+MB*//=3MA ?
d- Representer E1, E2, E3 sur une même figure.

Note : //x//=> valeur absolue de x; MA*=> vecteur MA
C' est l' exercice 56p.296 du livre de 1èreS : "Hyperbole Mathématique" édition 2005-2006

Voici mes réponses sur brouillon :

1/
a- G bar {(A,2)(B,1)} ⇔ 1+2≠0 donc G existe.
2GA*+GB*=0*
2GA*+GA*+AB*=0*
3GA*= -AB*
GA*= -1/3AB*
AG*=1/3AB*

b- Par hypoyhèse : si a+b≠0, pour tout point M => aMA*+bMB*=(a+b)MG*
Donc : 2MA*+MB=(2+1)MG*=3MG*

D' après vous, dois-je démontrer ce point ?

2/a- Je ne comprends pas comment on montre cela... Je pense qu' il faut avoir un raisonnemnt un peu identique à celui des prochaines questions, mais je ne vois pas comment faire...

b- 2MA*+MB*=3MG* ( on l' a démontrer précedemment )=>//2MA*+MB*//=//3MG//=3//MG//=3MG
On cherche tous les points M qui vérifient //2MA*+MB*//=AB
→3MG=AB
→MG=1/3AB

Le lieu géométrique des points M du plan qui vérifient que //2MA*+MB*//=AB est le cercle de centre G et de rayon 1/3AB.

c- Même raisonnement :
Le lieu géométrique des points M du plan qui vérifient que //2MA*+MB*//=3MA est le cercle de centre G et de rayon 1/3MA.
Là j' ai un doute, je pense que ce n' est pas très juste, mais je ne vois pas comment remplacer MA par un autre vecteur...

d- Pas de problème, on trace les cercles.

Voilà, pourriez-vous m' aidez à résoudre mes problèmes, ou me donner des conseils ?

Merci d' avance !

Salutations, alors tout d'abord je ne comprends pas vraiment pourquoi tu ecris MG = 1/7 AB enfin bref. Il me semble que c'est en effet un cercle de centre G mais de rayon a mon avis 1/3 de AB ; mais pour la question c, on obtient 3MG = 3AB or cette egalité défini un ensemble E2 de points a egale distance de A et G. Je pense que tu devrai comprendre facilement et corriger ton erreur .

Ah dsl erreur de ma part :frowning2: ne tien pas en compte de toute ma reponse :rolling_eyes: je n'avait pas fait attention ^^ ta réponse est probablement exacte.

Bon c'est encore moi, je charge un peu désolé mais je ne suis pas bien réveillé mon raisonnement était donc juste je me suis juste trompé, il faudrait plutot comprendre 3MG = 3MA (et non 3MG = 3AB ) donc MG = MA donc l'ensemble des points a equidistance de A et G.(pour la Q c)

Petite indication : Le milieu de [AG] fait partie de cet ensemble.
PS : En esperant que cette fois je ne me suis pas trompé.
PPS: Je suis légerement étourdi.

Effectivement je me suis trompé, cela fait bien 1/3AB.

Par contre, je n' arrive pas à visualiser l' ensemble E3 pour MG=MA... C' est un cercle ? Parce que là on a G=A, donc ce serait un cercle de centre G/A et de rayon MA/MG...

Par contre ce que je n' arrive vraiment pas c' est la question 2/a sur la colinéralité...

Alors pour la question 2a il faut demontrer que les vecteurs sont colineaires. Il faut donc montrer que 2MA*+MB* = kAB* or 2MA* + MB* = (2+1)MG* = 3MG*. Donc 3MG* = kAB*, MG = k'AB* donc MG colineaire a AB or G appartient a [AB] donc E1 est la droite passant par G parallele a (AB) c'est a dire que E1 est (AB) il me semble.

Et pour E3 si MG = MA alors M est a equidistance de G et de A c'est a dire que E3 est a médiatrice de [GA].

Merci j' ai rendu mon DM ce matin, mais j' ai eu le même raisonnement, donc vous me rassurer, je n' étais sur du tout de mon coup, alors merci pour votre coup de mains. En espérant que cela vaille le coup^^