Algorithme de Babylone et encadrement

Bonjour à tous!
J'ai un DM de maths à rendre pour vendredi, et je n'arrive pas à faire la première question. Peut être qu'avec un peu d'aide j'y arriverais et je pourrais continuer mon exercice.
Voici l'énoncé :

Le but de ce problème est d'obtenir des approximations de √2 par des nombres rationnels, et ce, par un procédé déjà connu des Babyloniens (vers 1800-1500 avant J.C.).

Soit a un réel strictement positif. Montrer que :
a) a et 2/a encadrent √2
b) leur moyenne arithmétique 1/2 (a+2/a) est supérieure à √2

Merci d'avance et bonne journée!

Salut,

Un coup de pouce pour la 1ère question.

Il faut envisager 2 cas, soit a est inférieur à √2, soit a est supérieur à √2.

Je te montre pour le 1er cas, et tu n'auras qu'à faire la même chose pour le second cas.

a < √2
donc 1/a > 1/√2
donc 2/a > 2/√2
et 2/√2=√2 (multiplie au numérateur et au dénominateur par √2)
donc 2/a > √2

Avec la 1ère ligne et la dernière, nous avons donc bien a < √2 < 2/a

Merci beaucoup je vais essayé de me débrouiller avec ça!

Pour démontrer que leur moyenne arithmétique est supérieure à √2, il suffit d'étudier le signe de la différence d = 1/2 (a+2/a) - √2.

En mettant cette expression au même dénominateur, on arrive à :
d = (a²-2a√2+2) / (2a)
Le numérateur se factorise à l'aide d'une identité remarquable et
d= (a-√2)² / (2a) qui est toujours positif puisque un carré est toujours positif (au numérateur) et que a est également positif (au dénominateur).

d étant positif, on peut donc affirmer que √2 < 1/2 (a+2/a)