Suite fonctionnelle à encadrer

Bonjour, bonsoir !

Je suis nouveau sur le forum, je me suis inscrit car je bloque complètement sur une question d'un exercice de DM pour la rentrée...

Cet exercice concerne une suite fonctionnelle qu'il faut encadrer.

Voici l'énoncé :

*"Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (1-x)³ + x
On définit une suite $a_n$ ) en posant $a_{n+1}$ )=f(an) pour tout n de N et $a_0$ = 0.4

Démontrer que pour tout entier n, 0 < $a_n$ < 1"*

Il y a une aide qui dit que l'on pourra dresser le tableau de variations de f.

J'ai donc étudié la fonction f (de manière très "automatique" ^^) :

pour la dérivée, je trouve : f'(x) = -3(1-x)² + 1
le signe de la dérivée :
positif sur ] -1+(√3) / √3 ; 1+(√3) / √3 [
négatif sur ] -∞ ; -1+(√3) [ U ] 1+(√3) / √3 ; +∞ [
Variations de f :
croissante sur ] -1+(√3) / √3 ; 1+(√3) / √3 [
décroissante sur ] -∞ ; -1+(√3) [ U ] 1+(√3) / √3 ; +∞ [
limites :
+∞ quand x→ -∞
-∞ quand x→ +∞
f(-1+(√3) / √3) ≈ 0.615
f( 1+(√3) / √3) ≈ 1.39

Cependant, je ne vois pas quel lien il peut y avoir entre la fonction et la suite, et encore moins pourquoi la suite peut être encadrée et tend vers 1 ?

Pourtant, les conjectures à la calculatrice le montre, mais je ne vois pas comment raisonner ni rédiger !

Je ne sais pas bien quelle est la différence entre une suite fonctionnelle et la fonction f, nous n'avons pas encore vu ou revu les suites depuis le début de l'année, et je ne trouve rien là dessus dans mes cours de l'an dernier...

Voilà, si vous avez des conseils, des pistes à me prodiguer svp ?!

Merci d'avance pour votre aide !

Encore un problème : je ne dois pas démontrer que la suite est croissante à cette question (ce qui m'aurait bien arrangé pour le 0 < an ... )

Help please ^^