un petit peu de suites... série des inverses des carrés



  • 😁 yep !
    bonjour tout le monde !
    voici un petit exo que j'ai fait, mais dont je ne suis pas tout à fait sûr, j'aimerai votre avis...
    énoncé :

    soit (Un(U_n) la suite définie par UnU_n = (1/1²) + (1/2²) + ... + (1/n²) pour tout n≥1.
    1- montrer que la suite est croissante
    2- Montrer que pour tout k≥2 on a : (1/k²)≥(1/(k-1)) - (1/k)
    3- En déduire que la suite est majorée par 2

    Bon, voilà ce que j'ai fait :
    1- UU_{n+1}Un-U_n = 1/((n+1)²)
    Donc c'est toujours supérieur à 0, donc la suite est croissante.
    2- J'étudie la position relative entre les droite CaC_a d'équation y=1/x² et CbC_b d'équation y=(1/(x-1)) - 1/x = (1/(x²-x)). J'appelle d(x) la différence entre les deux équations et j'étudie son signe sur R. Je fais le tableau de signe etc. (calcul des racines, des valeurs interdites, ...). Et j'obtiens que CaC_a est au dessus de CbC_b sur ]-∞ ; 0[ U ] 0 ; 1[ et CaC_a en dessous de CbC_b sur ]1 ; +∞[. Ensuite je conclue pour k... Ma démarche est-elle bonne ?
    3- Enfin pour la suite majorée, ça me paraît évident quand je vois la suite mais je n'arrive pas à le démontrer, quelqu'un aurait-il une piste s'il vous plaît 😄 ?
    voili voilà, merci à tous ceux qui auront ne serait-ce que le courage de lire ce message, parce que moi je fais une allergies aux suites, réellement j'ai beaucoup de mal avec le principe...
    ++ 😁



  • salut

    pour la 2, il y a plus simple :

    1k11k=k(k1)k(k1)=1k2k\frac1{k-1} - \frac1k = \frac{k-(k-1)}{k(k-1)} = \frac1{k^2-k}

    et tu peux facilement comparer 1k2k\frac1{k^2-k} et 1k2\frac1{k^2} (comparerveut dire : trouver le plus grand).

    pour la 3 : il faut bien entendu se servir du résultat de la question précédente, qui est

    1k11k  1k2\fbox{ \frac1{k-1} - \frac1k \ \geq \ \frac1{k^2}}
    tu appliques cette inégalité aux fractions 1/2² puis 1/3² etc... jusque 1/n² (laisse le 1/1² initial sans y toucher).

    alors en regroupant tous ces majorants tu vas récupérer au final 1+11n1 + 1 - \frac1{n} comme majorant de U_n.



  • Ha ! okay... 😲
    en fait je ne connaissais pas bien la méthode pour trouver un majorant... Mais maintenant ça me paraît plus clair... Je t'en remercie beaucoup 😁
    C'est vrai aussi qu'après réflexion, je me suis un peu compliquée la tâche pour le 2 😆 , mais bon, l'essentiel c'est que ça marche 😉 . Merci pour tes explications en tout cas.
    ++


 

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