Division euclidienne de 3^n par 7

[strangegirl59]

Bonjour,

n désigne un entier naturel non nul
(a)Pour n allant de 1 à 6 calculer les reste de la division euclidienne de 3^n par 7

3^1≡3(7)
3^2≡2(7)
....
3^6≡1(7)

(b)Démontrer que, pour tout n, 3^(n+6) - 3^n est divisible par 7.En déduire que 3^n et 3^(n+6) ont le même reste dans la division par 7.>Ca j'ai réussi à l'montrer.

(c)A l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 3^1000 par 7.>J'ai trouvé 3^1000 ≡ 3^6 ≡1(7).C'est bien c'là?

Et c'est là que j'ai besoin d'aide.

**(d)De manière générale, commen peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3^n par 7, pour tout n quelconque?

(e)En déduire que, pour tout entier naturel n, 3^n est premier avec 7.**

C'est possible d'avoir un peu d'aide pour les questions d et e?Je vois pas comment faire.Merci d'avance.

[strangegirl59]

Oups pour la (c) j'me suis trompée, le reste de 3^1000 par 7 est 4.
Et la (e) elle est faite.
J'ai besoin d'aide que pour la (d)

[S321]

D'après ta question b) tu as que $3^n$≡$3^{n+6}$[7]
Donc forcément $3^{n+6}$≡$3^{n+12}$[7] et ainsi de suite. Tu as donc que pour tout n naturel :
Soit v un entier naturel alors $3^{n+6v}$≡$3^n$[7] (pour être bien rigoureux j'ai bien peur qu'une récurrence s'impose).

Donc si un entier n est dans la classe de 0 modulo 6 il existera un v tel que n=0+6v d'où $3^n$≡$3^{0+6v}$≡$3^0$[7].
De même si n est dans la classe de 1 modulo 6 tu auras $3^n$≡$3^1$[7].
Et ainsi de suite juste à 5. Comme tu connais les résultats pour n allant de 0 à 5 tu les connais pour tout n suivant la classe de n modulo 6.

[md lemin elghassem]

@strangegirl59 quel est lereste dela division eclidienne de 3^3 par 7

[Noemi]

@md-lemin-elghassem Bonjour,

$3^3=27$ et
$27=3\times 7+6$ donc
Le reste de la division euclidienne de $3^3$ par $7$ est ....