Division euclidienne de 3^n par 7



  • Bonjour,

    n désigne un entier naturel non nul
    (a)Pour n allant de 1 à 6 calculer les reste de la division euclidienne de 3^n par 7

    3^1≡3(7)
    3^2≡2(7)
    ....
    3^6≡1(7)

    (b)Démontrer que, pour tout n, 3^(n+6) - 3^n est divisible par 7.En déduire que 3^n et 3^(n+6) ont le même reste dans la division par 7.>Ca j'ai réussi à l'montrer.

    (c)A l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 3^1000 par 7.>J'ai trouvé 3^1000 ≡ 3^6 ≡1(7).C'est bien c'là?

    Et c'est là que j'ai besoin d'aide.

    **(d)De manière générale, commen peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3^n par 7, pour tout n quelconque?

    (e)En déduire que, pour tout entier naturel n, 3^n est premier avec 7.**

    C'est possible d'avoir un peu d'aide pour les questions d et e?Je vois pas comment faire.Merci d'avance.



  • Oups pour la (c) j'me suis trompée, le reste de 3^1000 par 7 est 4.
    Et la (e) elle est faite.
    J'ai besoin d'aide que pour la (d)



  • D'après ta question b) tu as que 3n3^n3n+63^{n+6}[7]
    Donc forcément 3n+63^{n+6}3n+123^{n+12}[7] et ainsi de suite. Tu as donc que pour tout n naturel :
    Soit v un entier naturel alors 3n+6v3^{n+6v}3n3^n[7] (pour être bien rigoureux j'ai bien peur qu'une récurrence s'impose).

    Donc si un entier n est dans la classe de 0 modulo 6 il existera un v tel que n=0+6v d'où 3n3^n30+6v3^{0+6v}303^0[7].
    De même si n est dans la classe de 1 modulo 6 tu auras 3n3^n313^1[7].
    Et ainsi de suite juste à 5. Comme tu connais les résultats pour n allant de 0 à 5 tu les connais pour tout n suivant la classe de n modulo 6.


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