trois nombres entiers strictement positifs nommés primo, secundo et tertio

Bonjour,
Je dois rendre un DM pour le 1er décembre et je suis complétement bloqué, je n'ai aucune piste. J'arrive à deux équations que je n'arrive pas à résoudre (quatre inconnus).
Voici l'énoncé :
"Fibo choisit trois nombres entiers strictement positifs nommés primo, secundo et tertio. En multipliant tertio par la somme de secundo et primo, on trouve quarto. Et en multipliant quarto par la somme de tertio et secundo, on trouve 2008. Que valent primo, secundo et tertio?"

Merci d'avance pour votre aide

je pense qu'il faut chercher les diviseurs de 2008

es tu bien sûr de ton énoncé ?

Salut,

C'est pas simple ton histoire ...

J'appelle a primo, b secundo, c tertio et d quarto.

On obtient les équations suivantes :
c(a+b)=d et d(c+b)=2008
ou en substituant : c(a+b)(c+b)=2008

Il faut donc trouver 3 facteurs donc le produit fait 2008. Une décomposition en facteurs premiers de 2008 nous amène à :
2008 = 1×2×1004
= 1×4×502
= 1×8×251
= 2×2×502
= 2×4×251
(J'espère ne pas en avoir oublié)

Cela nous fait donc ... beaucoup de systèmes à résoudre pour espérer obtenir un seul triplet de nombre positifs.

Remarque : on doit pouvoir réduire le nombre de systèmes en comparant les facteurs, notamment c < c+b.

Et tiens-moi au courant du résultat !

A mon humble avis, ce n'est pas faisable avec ces données !

Si si, c'est soluble. Enfin du moins j'ai une solution mais de là à démontrer qu'elle est unique... enfin c'est pas demandé.

On peut voir (de manière très qualitative) dans les décompositions données par Thierry que dans tous les cas l'un des trois facteurs est grand tandis que les deux autres sont petits or ces trois facteurs sont :
c(a+b)(c+b)

On peut voir que si c est grand alors c et (c+b) seront grand ce qui fera deux facteurs grands alors qu'ils nous en faut qu'un seul. Donc c ne peut pas être grand.
De même b ne peut pas être grand sinon (a+b) et (c+b) seront grand ce qui ne fonctionne pas non plus.
Donc a, la dernière possibilité, sera un nombre plutôt grand tandis que b et c seront petits.
Tu dois donc avoir que (a+b) vaut 251, 502 ou 1004 tandis que c et (c+b) seront entre 1 et 8. Ça réduit bien les cas a essayer, c'est faisable de tête.

P.S : Finalement je peux démontrer la non-unicité. J'ai trouvé deux solutions.

Thierry
Salut,

C'est pas simple ton histoire ...

J'appelle a primo, b secundo, c tertio et d quarto.

On obtient les équations suivantes :
c(a+b)=d et d(c+b)=2008
ou en substituant : c(a+b)(c+b)=2008

Il faut donc trouver 3 facteurs donc le produit fait 2008. Une décomposition en facteurs premiers de 2008 nous amène à :
2008 = 1×2×1004
= 1×4×502
= 1×8×251
= 2×2×502
= 2×4×251
(J'espère ne pas en avoir oublié)

Cela nous fait donc ... beaucoup de systèmes à résoudre pour espérer obtenir un seul triplet de nombre positifs.

Remarque : on doit pouvoir réduire le nombre de systèmes en comparant les facteurs, notamment c < c+b.

Et tiens-moi au courant du résultat !

ça y est j'ai trouvé :
Je commence par trouver tous les diviseurs de 2008:
2008/2=1004
1004/2=502
502/2=251 (nombre premier)

ensuite je me retrouve avec un système :
t(s+p)=q
q(t+s)=2008 = t(s+p)(t+s)=2008

Comme dit précedemment dans la discussion, t<(t+s)
Comme dit précédemment dans la discussion, (s+p) est forcément un nombre grand (251 ou 502 ou 1004 ou 2008) et t et (t+s) des nombres plus petits puisque t<(t+s) (t et (t+s) ne peuvent pas être égaux et varient entre 1 et 8 inclu)

Ensuite par itération, dans mon expression t(s+p)(t+s)=2008, je trouve 5 solutions.