Montrer qu'une fonction peut s'écrire sous forme de polynôme degré k

Bonjour, j'ai besoin d'une petite aide pour un DM.
Voici la question :

On considere la suite de fonctions (Tk) definies pour tout x appartenant à C par To(x) = 1
T1(x) =x puis pour k >ou egal à 1 par la relation de recurrence T(k+1)(x)= 2xTk(x) - T(k-1) (x)

La question est :
Montrer que pour tout entier k, Tk est une fonction polynome de degre k et que pour tout entier k >ou egal 1, le coefficient dominantde Tk est 2 ^(k-1) ?

En vous remerciant par avance,
Lisa.

Salut,

As-tu essayé un raisonnement par récurrence ?

Heu ... oui peut etre mais, je ne vois pas trop là.
pourriez vous me donner de plus amples informations ?
merci.

Pour répondre à ta question, je ne vois que le raisonnement par récurrence. Alors si tu ne l'as pas fait ...

Je suis tout à fait d'accord mais par quoi commencer!
Je ne comprends pas ce que je dois prouver, qu'est ce que je dois obtenir ?
Merci

Bon ... donc tu sais ce qu'est un raisonnement par récurrence ?

Oui, je suis en classe prépa ECS. Je connais la demarche .

ECS ? quezaquo ?

Si le terme de plus haut degré de $T_k$ (x) est $2$ ^{k-1} $x^k$ , alors le terme de plus haut degré de $T_{k+1}$ (x) pourra être calculé en faisant : 2x. $2^{k-1}$ x

Que vaut alors le coefficient dominant de $T_{k+1}$ (x) ?

Je suis désolée, je n'ai rien compris.
La premiere question posée est deja de montrer que Tk est une fonction polynome, pour le 2^(k-1), coefficient dominant, on verra plus tard, ce ne serait pas mieux non ?

Le produit de polynômes est un polynôme et la somme de polynômes est un polynôme. Donc si Tk est un polynôme, Tk+1 l'est aussi.

ECS ? kezako ?

ECS = prépa eco option maths, c'est pour les ecoles de commerce.

Ok pour la q1
Maintenant pour la q2.

Si lte erme de plus haut degre de Tk(x) est 2^(k-1) alors le terme de plus haut degre de Tk+1(x) est 2^(k) ?

mAIS quel est le lien avec
T(k+1)(x)= 2xTk(x) - T(k-1) (x) ????
Merci

Comment as-tu trouvé que son coefficient de plus haut degré est 2^k ?

Tk(x) : 2^(k-1)

donc je remplace k par k+1 alors :

Tk+1(x) : 2^(k+1-1)
= 2^k non ?

Si tu remplaces simplement k par k+1 c'est que tu suppose comme étant vraie la proposition de ton exercice. Alors que précisément, tu dois la démontrer par récurrence.

Tu sais faire l'initialisation du raisonnement par récurrence ?

Bien, en fait, je ne vois pas le lien avec l'expression de depart car 2^k ne correspond à rien dans mon expression ..

Le raisonnement par récurrence se fait en 3 étapes :

Initialisation
Hérédité
Conclusion

Je peux te faire le 2 mais sais-tu faire le 1 et le 3 ?

Bon je te fais l'hérédité :

Supposons que pour un entier k fixé le terme de plus haut degré de $T_k$ (x) soit $2$ ^{k-1} $x^k$ . Appelons cette propriété $P_k$
D'après la relation $T_{k+1}$ (x)= $2xT_k$ (x) - $T_{k-1}$ (x)
le terme de plus haut degré de $T_{k+1}$ (x) sera celui de $2xT_k$ (x) c'est à dire 2x. $2$ ^{k-1} $x$ ^k $= 2$ ^k $x^{k+1}$ et l'on reconnait $P_{k+1}$ .

Oui okay j'ai compris

Donc

pour init :

Pour k = 0
T(0+1) (x) = 2 x T(0) x - T (0-1) (x)
T(1) (x) = 2x. 1 - T(1) (x)
= 2x - x
= x

la propriété est vérifiés pour le 1er terme.

et pour la conclusion

Par recurrence, on a montré que pour tout entier k > ou égal 1, la propriété etant vraie pour le terme de rang (n+1), elle est aussi vraie pour le rang n.
Ainsi, le coefficient dominant de Tk est 2^k-1.

C'est bien ca ?

Est ce que vous pourriez continuer à m'aider pour la suite de mon DM ?

Voici la prochaine question

Dans la suite, on se fixe un entier n > ou egal 1.

On pose Pn (X) = 1/ ( 2 ^(n-1) ) Tn (X) et pour k entier tel que
0 < egal k < egal n

on pose :
x(k) = cos (k.pie / n )

Calculer Pn(x k) ?
Montrer que Pn appartient à l'ensemble Pn tel que
max {Pn (x) / x appartient [-1,1] } = 1/ ( 2^(n-1) ) ??

Merci

Alors pour la question 1 je trouve :

Pn (xk) = 1/ ( 2 ^(n-1) ) Tn (xk)

= 1/ ( 2 ^(n-1) ) Tn (cos (k.pie/n) )

okay mais apres, c'est fini ou je peux encore simplifier ?

Et pour la q 2 .. je seche

merci

Thierry, etes-vous toujours là pour m'aider ?