Les Vecteurs(bases et repères)

BONJOUR, excusez moi, j'aimerais savoir comment démontrer qu'un couple est une base du plan vectoriel V.
EXEMPLE: Démontrer que le couple (u;v) est une base du plan vectoriel V, dans chacun des cas suivants:
1.(u;v)=(2i ; -j)
2.(u;v)=(i ; i + j)
3.(u;v)=(j ; i)
et déterminer les coordonnées des vecteurs i; j ; -4i+j ;3i+2j dans cette base .
j'ai esseyé sur mon brouillon mais je ne comprend pas. MERCI à vous.

salut
dans la base (i;j) tout vecteur peut être décomposé en V=xi+yj
(u;v) x' et y' pour que V= x'u+y'v
donc il faut que
xi+yj=x'u+y'v=2ix'-y'j
est-ce toujours possible ?
je te laisse finir
@

BONJOUR, excusez moi, j'ai pas bien compris votre démonstration. je suis un peu confus. MERCI de reprendre s'il vous plait.

salut
1 on sait que (i;j) est une base ⇔ tout vecteur du plan peut être écrit sous la forme xi+yj

2 pour que (u;v)soit une base,il faut que l'on puisse écrire tout vecteur du plan sous la forme x'u+y'v d'accord ?

il suffit de voir si c'est possible et pour cela de chercher la correspondance entre les 2 expressions.
x+iy= x'u+y'v=x'(2i)+y'(-j)
en identifiant on obtient les formules de changement de base
x=2x'
y=-y'
donc x'=x/2
et y'=-y
le vecteur i =1i+0j
a pour coordonnées dans cette base
x'=1/2 et y'=0
etc...

Ou de façon un peu plus simple , un couple de vecteurs (u $→^\rightarrow$ , v $→^\rightarrow$ ) forme une base si et seulement si les vecteurs u $→^\rightarrow$ et v $→^\rightarrow$ ne sont pas colinéaires.

Il faut donc vérifier que

u $→^\rightarrow$ = 2i $→^\rightarrow$ et v $→^\rightarrow$ = -j $→^\rightarrow$ , sont colinéaires ou non

u $→^\rightarrow$ = i $→^\rightarrow$ et v $→^\rightarrow$ = i $→^\rightarrow$ + j $→^\rightarrow$ , sont colinéaires ou non

u $→^\rightarrow$ = j $→^\rightarrow$ et v $→^\rightarrow$ = i $→^\rightarrow$ , sont colinéaires ou non

MERCI pour l'approfondissement.

BONJOUR, s'il vous plait (ZORRO) J'aprecie votre methode mais comment vérifier qu'ils sont colinéaires ou non? s'il vous plait !!!