Les Vecteurs(bases et repères)


  • S

    BONJOUR, excusez moi, j'aimerais savoir comment démontrer qu'un couple est une base du plan vectoriel V.
    EXEMPLE: Démontrer que le couple (u;v) est une base du plan vectoriel V, dans chacun des cas suivants:
    1.(u;v)=(2i ; -j)
    2.(u;v)=(i ; i + j)
    3.(u;v)=(j ; i)
    et déterminer les coordonnées des vecteurs i; j ; -4i+j ;3i+2j dans cette base .
    j'ai esseyé sur mon brouillon mais je ne comprend pas. MERCI à vous.


  • V

    salut
    dans la base (i;j) tout vecteur peut être décomposé en V=xi+yj
    (u;v) x' et y' pour que V= x'u+y'v
    donc il faut que
    xi+yj=x'u+y'v=2ix'-y'j
    est-ce toujours possible ?
    je te laisse finir
    @


  • S

    BONJOUR, excusez moi, j'ai pas bien compris votre démonstration. je suis un peu confus. MERCI de reprendre s'il vous plait.


  • V

    salut
    1 on sait que (i;j) est une base ⇔ tout vecteur du plan peut être écrit sous la forme xi+yj

    2 pour que (u;v)soit une base,il faut que l'on puisse écrire tout vecteur du plan sous la forme x'u+y'v d'accord ?

    il suffit de voir si c'est possible et pour cela de chercher la correspondance entre les 2 expressions.
    x+iy= x'u+y'v=x'(2i)+y'(-j)
    en identifiant on obtient les formules de changement de base
    x=2x'
    y=-y'
    donc x'=x/2
    et y'=-y
    le vecteur i =1i+0j
    a pour coordonnées dans cette base
    x'=1/2 et y'=0
    etc...


  • Zorro

    Ou de façon un peu plus simple , un couple de vecteurs (u→^\rightarrow , v→^\rightarrow) forme une base si et seulement si les vecteurs u→^\rightarrow et v→^\rightarrow ne sont pas colinéaires.

    Il faut donc vérifier que

    u→^\rightarrow = 2i→^\rightarrow et v→^\rightarrow = -j→^\rightarrow , sont colinéaires ou non

    u→^\rightarrow = i→^\rightarrow et v→^\rightarrow = i→^\rightarrow + j→^\rightarrow , sont colinéaires ou non

    u→^\rightarrow = j→^\rightarrow et v→^\rightarrow = i→^\rightarrow , sont colinéaires ou non


  • S

    MERCI pour l'approfondissement.


  • S

    BONJOUR, s'il vous plait (ZORRO) J'aprecie votre methode mais comment vérifier qu'ils sont colinéaires ou non? s'il vous plait !!!


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