ouille ouille ouille

j'ai un pitit probleme, je dois demontrer par recurrence que pour tout entier naturel n superieur ou egale à 7,
n!>n^4.

alors j'ai deja prouvé que c'etait vrai pour n=7, car 7!=5040 et 7^4=2401.
donc je peux dire que pour n=7, n!>n^4.

mais apres je suis bloquée parce qu'il faudrait que je dise que c'est aussi vrai pour ( n+ 1 )!>( n+ 1)^4. mais j'y arrive pas.

alors voilà, merci de votre aide.

Bonjour, j'ai une solution (pas très belle)

Nous supposons que n! > $n^4$
donc n!(n+1)> $n^4$ (n+1)

Il s'agit alors de démontrer que $n^4$ (n+1) > $n+1)^4$

Pour cela, tu peux développer $n+1)^4$ puis factoriser par $n^4$ tu obtiens quelque chose comme
$n+1)^4$ = $n^4$ (1+S)
S étant une somme de fractions. On peut démontrer comme n>7 que S<0,71
Donc 1+S<1+n
donc $n^4$ (1+S) < $n^4$ (n+1)
cad $n^4$ (n+1) > $n+1)^4$

Ca va ?

ben oui, ça me va bien.
encore merci.
++

magicsmile
ben oui, ça me va bien.
encore merci.
++

Tu peux aussi remarquer que (n+1)!=n!*(n+1), de sorte que si n!> $n+1)^3$ , c'est gagné.
Comme on sait par récurrence que n!> $n^4$ , il suffit de démontrer que $n^4$ < $n+1)^3$ pour n<=7. Pour n=7, ça marche (2401>512). Pour n<=8, $n^4$ < $8n^3$ < $2n)^3$ < $n+n)^3$ > $n+1)^3$ .

Par contre, je t'en supplie:Fais attention à la rédaction!!!
J'en ai bavé à cause d'elle!!!J'avais les bons résultats, mais comme j'avais une rédaction bidon...0!!!!
Vérifies TOUJOURS qu'au 2 premiers rang cela marche:c'est à dire fait le pour n=7 et pour n=8(tu précises pour n > à 7...)...et regarde si n! et bien > à n^(4)
ensuite tu admets que pour n fixé, l'hypothèse de récurrence est vraie.montres alors qu'elle l'est aussi au rang n+1 , c'est à dire que:
(n+1)! > (n+1)^(4)
...partant de là tu peux faire ce que Thierry a fait ou encore mieux ce que Stéphane a fait!En n'oubliant pas de dire quand est ce que tu utilises l'hypothèse de récurrence!
et tu n'oublies pas de conclure:de répondre à la question initiale...
Et là, ce sera parfait!!(on ne voit pas DU TOUT la fille traumatisée par la récurrence!)
Biz
Nel'

ah bah mirci beaucoup les gens.
jvais faire un mixe de ce qu'on dit Stephane et Thierry, en oubliant pas la redaction de la madame traumatisée par la recurrence alias Nel'.
encore merci.
biz

madame traumatisée...je suis sûre que tu l'aurais été aussi si tu n'avais pas fait la SUPER rédaction que je t'ai donné!!!!!!!!!Na!