produit scalaire : triangle isocèle

Bonjour à vous tous alors voilà j'ai cherché, je pense que je suis pas loin de trouver, mais j'y arrive tout de même pas.

ABC est un triangle isocèle en A, O est le milieu de[BC], H est la hauteur issue de O dans le triangle AOC, I est le milieu de [OH].
Démontrer que la hauteur issue de A dans le triangle ABH passe par I.

(voir image que j'ai faite pour mieux visualiser la chose):

[/img]

donc je veux prouver que AI.HB = 0 (c'est des vecteurs, je trouves pas les flêches)
avec Chasles on a :
(HC + CB)(AO + OI) = HC.AO + HC.OI + CB.AO + CB.OI = ? + 0 + 0 + ?
HC.AO = cos(π/2 - x) ???
CB.OI = cos(π/2 + x) ???

ce qui expliquerez que : AI.HB = cos(π/2 - x) + 0 + 0 + cos(π/2 + x) = 0

Est-ce juste ? Où j'ai sauté une étape ?

Merci de m'aider, bonne journée.

PS : notre prof nous a conseillé d'utiliser les projetés orthogonaux mais là je sèche... merci à vous de bien vouloir m'aider

je crois avoir trouvé plus simple en décomposant ainsi :

$ai⃗⋅bh⃗=(ao⃗+oi⃗)⋅(bo⃗+oh⃗)\vec{ai}\cdot\vec{bh} = (\vec{ao} + \vec{oi})\cdot(\vec{bo}+\vec{oh})$
en introduisant des projetés orthogonaux en effet, comme le conseille ton prof.

Je te laisse regarder ça.

Rq : si tu veux des flèches de vecteur, utilise le bouton LaTeX et le code \vec{AI} pour afficher
$ai⃗\vec{ai}$

c'est bon j'ai trouvé, merci

avec votre solution je n'ai pas trouvé, comment vous avez fait ?
ça me donne :
0 + AO.OH + OI.BO + OI.OH
= -(OA.OH) + 1/2OH.OC + OI.OH
= - OA² + 1/2OC² + 1/2OH²
ça veut dire que OA² = 1/2OC² +1/2OH² (pour que ce soit = 0)
mais ce n'est pas le cas, une aide ?

re.

note par exemple que
$ao⃗⋅oh⃗=−oh2\vec{ao}\cdot\vec{oh} = -oh^2$
et ainsi de suite.

ah oui c'est -OH² et pas -OA² x) ce qui me fait :
que ça fait pas 1/2OC² mais 1/2OH²
merci comme ça c'est bon, je mettais trompé, orthogonalement...