Démontrer que des droites sont orthogonales à l'aide des vecteurs

salut j'ai besoin d'aide pour cet exercice:

on considère un triangle ABC et $δ\delta$ une droite passant par A
B' et C' sont les projetés orthogonaux de B et C sur $δ\delta$ et, par I le point d'intersection de la perpendiculaire menée de B' à (AC) et de la perpendiculaire à menée de C' à (AB)

Démontrer que

$ab′⃗.ac′⃗=ai⃗.ac⃗\vec{ab'}.\vec{ac'}=\vec{ab}.\vec{ai}\quad \text{ et }\quad\vec{ab'}.\vec{ac'}= \vec{ai}.\vec{ac}$

En déduire que les droites (AI) et (BC) sont orthogonales
Quels résultats retrouve t'on en choisissant $δ=(ab)\delta= (ab)$

merci de votre aide

salut
déjà la figure

on a

$ab⃗=ab′⃗+b′b⃗\vec{ab} = \vec{ab'} + \vec{b'b}$

donc

$ab′⃗⋅ac′⃗=ab⃗⋅ac′⃗\vec{ab'}\cdot\vec{ac'} = \vec{ab}\cdot\vec{ac'}$

et ensuite, en nommant P le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par C, on a

$ab⃗⋅ac′⃗=ab⃗⋅ap⃗=ab⃗⋅ai⃗\vec{ab}\cdot\vec{ac'} = \vec{ab}\cdot\vec{ap} = \vec{ab}\cdot\vec{ai}$

ceci démontre la première égalité de la question 1, à toi de faire l'autre.

Rq : on utilise essentiellement ici un théorème de projection, que je rappelle ci-dessous :

où l'on a les égalités suivantes :

$\fbox{\vec{ab}\cdot\vec{ap} = \vec{ab}\cdot\vec{ac} = \vec{ab}\cdot\vec{ad} = \vec{ab}\cdot\vec{ae}}$
relativement à $ab⃗\small \vec{ab}$ seule compte vis-à-vis du produit scalaire, la composante $ap⃗\small \vec{ap}$ .

merci beaucoup Zauctore pour cette réponse ultra rapide
quelqu'un pourrais m'aider s'il vous plait pour les questions 2 et 3.

ben c'est évident pour la 2) :

(AI) et (BC) sont orthogonales si et seulement si $ai⃗⋅bc⃗=0\small \vec{ai}\cdot\vec{bc} = 0$ .
introduis le point A par chasles dans le second vecteur...

pour la 3), ça ferait pas des hauteurs pas hasard ?

merci beaucoup