produit scalaire: symétrie de l'orthocentre
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Kkanarikev dernière édition par
bonsoir, j'ai besoin d'un peu d'aide pour cet exercice.
soit ABC un triangle et T son cercle circonscrit. La hauteur issue de A rencontre (BC) en P et T en A_1; on désigne par H le symétrique de A_1 par rapport à P.
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montrer que bh⃗⋅ac⃗=bp⃗⋅pc⃗+ph⃗⋅ap⃗\small \vec{bh}\cdot\vec{ac}=\vec{bp}\cdot\vec{pc}+\vec{ph}\cdot\vec{ap}bh⋅ac=bp⋅pc+ph⋅ap
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en déduire que bh⃗⋅ac⃗\small \vec{bh}\cdot\vec{ac}bh⋅ac=0
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démonter de même que ch⃗⋅ba⃗=0\small \vec{ch}\cdot\vec{ba}=0ch⋅ba=0
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retrouver ainsi que "le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit"
j'ai réussi la question 1)
mais le reste je bloque
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Zauctore dernière édition par
salut
q. 2 : bon, il s'agit de voir pourquoi bp⃗⋅pc⃗+ph⃗⋅ap⃗=0\small \vec{bp}\cdot\vec{pc} + \vec{ph}\cdot\vec{ap} = 0bp⋅pc+ph⋅ap=0.
déjà les deux produits scalaires sont de signes contraires :
bp⃗⋅pc⃗=bp×pc et ph⃗⋅ap⃗=−ph×ap=−pa1×ap\small \vec{bp}\cdot\vec{pc} = bp\times pc\qquad \text{ et } \qquad \small \vec{ph}\cdot\vec{ap} = -ph\times ap = -pa_1 \times apbp⋅pc=bp×pc et ph⋅ap=−ph×ap=−pa1×ap
C'est la puissance de P par rapport au cercle, ça : on est sûr que
pa1×ap=pb×pcpa_1 \times ap = pb\times pcpa1×ap=pb×pc
d'où le résultat.
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Kkanarikev dernière édition par
merci beaucoup Zauctore
